2.2 Теплопровідність металевого стержня з зовнішніми стоками тепла з граничними умовами 1-го та 3-го роду.

Оскільки метали характеризуються високою провідністю теплоти, то дослідний зразок повинен мати значні розміри в напрямку теплового потоку, що забезпечують перепади температури, достатні для надійного їхнього виміру. Для цього зразкам додають витягнуту форму стрижнів. Стрижень або циліндр кінцевих розмірів можна представити в цьому випадку як циліндричну вирізку з нескінченної плоскопаралельної пластини, що має довжину, рівну товщині цієї пластини. Товщина шару в осьовому напрямку вибирається відповідно до залежності

В цьому випадку доводиться враховувати теплообмін з навколишнім середовищем, адже збільшення довжини пластини призводить до збільшення поверхні контакту тіла з навколишнім середовищем.

Розглянемо розповсюдження теплоти в прямому однорідному стрижні з постійним поперечним перерізом. Нехай один з кінців стержня підтримується при сталій температурі Т₁, а його другий кінець знаходяться у газовому середовищі з температурою Т_g, яка також не змінюється (Т_g<Т₁). Обмін теплом між нагрітим стрижнем і відносно холодним середовищем відбувається через бічну поверхню стрижня. При невеликій різниці температур стержня й середовища (Т–Т₀), цей процес теплообміну з достатньою точністю може бути описаний за допомогою закону Ньютона-Ріхмана:

. (2.1)

Тут – кількість теплоти, якою обмінюється елемент стержня із середовищем за одиницю часу, α – коефіцієнт теплообміну, – площа бічної поверхні стрижня, p – периметр бічного перерізу. Це рівняння має інтегральний характер. Узагалі, температура стерижня є функцією координат стрижню Т(x,y,z). Якщо вважати, що коефіцієнт теплообміну не залежить від температури α=const, саме вид цієї функції визначає, як відбувається обмін тепла між стрижнем і середовищем в будь-якій точці на бічній поверхні стрижню.

Пошук розподілу температури у стрижні значно спроститься, якщо не враховувати зміну температури впоперек стрижню, тобто вважати, що температура стрижню змінюється тільки вздовж стержня. Це припущення буде тим більш справедливим, чим менше критерій Bi<<1 для стержня.

Складемо рівняння теплопровідності для елементу довжини стержня, використавши І закон термодинаміки:

.

Тут – кількість тепла, що входить через площу поперечного перерізу S у ліву грань елементу за одиницю часу, – кількість тепла, що виходить із протилежної грані елементу за той же час, – кількість тепла, яким обмінюється за одиницю часу елемент стрижню з навколишнім середовищем через бічну поверхню елементу.

Одже рівняння теплопровідності для елементу довжини стержня можна записати, використовуючи (1.15), у вигляді

,

або

.

Зробивши заміни та , отримаємо остаточне стаціонарне диференціальне рівняння теплопровідності:

(2.2)

Напівнескінченний металевий стержень. Якщо припустити, що стрижень є нескінченно довгим, граничні умови будуть такими:

; (2.3)

Подвійне інтегрування рівняння (2.2) дозволяє отримати загальний розв’язок у вигляді:

Тоді, використавши граничні умови (2.3), для профілю температури у стрижні маємо:

. (2.4)

Аналіз цього виразу показує, що температура стрижню вздовж координати x змінюється за законом експоненти, і чим більший параметр ε, тим сильніше температура убуває за довжиною стрижня. Геометричний зміст параметра ε стає зрозумілим, після представлення розподілу температури у напівлогарифмічних координатах . Звідки видно, що за модулем ε дорівнює тангенсу кута нахилу прямих тобто:

Кількість тепла , що розсіюється через усю бічну поверхню нескінченного довгого стрижня може бути знайдена, застосовуючи (2.4), як інтеграл рівняння (2.1) в межах від 0 до :

Останній вираз є базовим для визначення величини коефіцієнта теплопровідності λ. Остаточно знаходимо, що:

(2.5)

Металевий стержень скінченної довжини. На практиці мають справу із стржнями, які мають цілком певну довжину L, але чим стрижень довший, тим точніше можна визначити коефіцієнт теплопровідності за формулою (2.5). Похибку розрахунків Q можна знайти, якщо проінтегрувати рівняння (2.1) у межах від x = L до x = . Маємо:

Відносна похибка за рахунок скінченої довжини стрижня L становитиме:

.