4.5. Охолодження (нагрів) циліндра і кулі

Задачі на охолодження циліндра або кулі по своїй постановці аналогічні розглянутій вище для пластини і допускають аналітичний розв’язок. При цьому весь хід розв’язку, основаного на застосуванні методу розділення змінних, виявляється подібним. Тому обмежимося лише записом математичного формулювання задачі і її остаточного розв’язку.

1. Необмежений циліндр радіусом r₀.

.

початкова умова: .

граничні умови:

;

.

Розв’язок має вигляд

, (4.40)

де і – функції Бесселя першого роду нульового і першого порядку; , μ_n – розв’язки характеристичного рівняння

. (4.41)

2. Куля радіусом r₀

.

Початкова умова: .

граничні умови:

.

Розв’язок має вигляд

, (4.42)

де , μ_n – розв’язки характеристичного рівняння

. (4.43)

Порівнюючи (4.40) і (4.42) з (4.33), можна побачити, що для тіл простої геометричної форми структура розв’язку виявляється однаковою

, (4.44)

де , – деякі сталі коефіцієнти, що визначається умовами однозначності (числом Біо) і геометрією; – функція координати.

Значення і для тіл простої геометрії, так само, як і функції для характерних точок, розраховані і приведені в таблицях або графічно в довідковій літературі.

4.6. Теорема перемноження розв’язків

Очевидно, що спроби одержати строге аналітичне описання процесу охолодження тіл складнішої форми, тобто в дво- або тривимірній постановці, викликають значні труднощі. Ці труднощі до певної міри вдається усунути за допомогою теореми перемноження розв’язків, яка свідчить: безрозмірне поле температур тіла кінцевих розмірів дорівнює добутку безрозмірних температур для одновимірних тіл, перетином яких утворене дане тіло. Це, на перший погляд, неочевидне твердження легко доводиться шляхом підстановки вказаного результату в початкове математичне описання процесу і перевірки тотожності.

Н

Рис. 4.11. Охолодження циліндра кінцевих розмірів в середовищі з постійною температурою.

ехай, наприклад, необхідно розрахувати температурне поле циліндра кінцевих розмірів (рис. 4.11), утвореного перетином необмеженого циліндра радіусом r₀ і необмеженої пластини товщиною . Згідно теоремі перемноження розв’язків,

, (4.45)

де – розв’язок для необмеженої пластини; – розв’язок для необмеженого циліндра.

Диференціальне рівняння теплопровідності для цього випадку записується так:

(4.46)

з крайовими умовами:

(4.47)

Розв’язок для необмежених пластин і циліндра відомі. Крайові умови для цих задач виглядають таким чином:

(4.48)

Домножаючи лівий стовпець в (4.48) на , а правий – на , отримаємо рівняння, які співпадають з (4.47). Далі, підставляючи в (4.46) і виконуючи диференціювання, одержимо

,

а перегрупувавши:

. (4.49)

Вирази в квадратних дужках є ні що інше, як диференціальне рівняння теплопровідності для пластини і циліндра, що обертаються в нуль. В результаті (4.49) обертається в тотожність і, отже, є розв’язком поставленої задачі.