Занятие 4. «Динамика материальной точки»

1. Брусок массой m = 2 кг движется по шероховатой горизонтальной поверхности с ускорением w = 3 м/с², когда на него действуют силой F = 14 Н, направленной под углом α = 45° к горизонту. Какой минимальной силой F₀ и под каким углом α₀ нужно подействовать на брусок, чтобы его только сдвинуть с места?

Когда мы тело только-только толкаем, то ускорение равно нулю:

Ответ: ; .

2. Наклонная плоскость, образующая угол α = 25° с плоскостью горизонта, имеет длину l = 2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за время t = 2 с. Определить коэффициент трения μ тела о плоскость.

Ответ: .

3. Шайбу положили на наклонную плоскость и сообщили направленную вверх начальную скорость v₀. Коэффициент трения между шайбой и плоскостью равен k. При каком значении угла наклона α шайба пройдёт вверх по плоскости наименьшее расстояние? Чему оно равно?

Ответ: ; .

4. Аэростат массы m начал опускаться с постоянным ускорением w. Определить массу балласта, который следует сбросить за борт, чтобы аэростат получил такое же ускорение, но направленное вверх. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: .

5. На столе стоит тележка массой m = 4 кг. К тележке привязан один конец шнура, перекинутого через блок. С каким ускорением w будет двигаться тележка, если к другому концу шнура привязать гирю массой m₂ = 1 кг? Коэффициент трения k = 0,2.

Ответ: .

6. Какова начальная скорость шайбы, пущенной по поверхности льда, если она остановилась через 40 с. Коэффициент трения равен 0,05.

v = 0, так как шайба остановилась: .

Ответ: (м/с).

7. Д ва соприкасающихся бруска скользят по наклонной доске. Масса первого бруска m₁ = 2 кг, масса второго бруска m₂ = 3 кг. Коэффициент трения между бруском и доской равен μ₁ = 0,1 для бруска 1 и μ₂ = 0,2 для бруска 2. Угол наклона доски α = 45°. Определить: а) ускорение, с которым движутся бруски; б) силу F, с которой бруски давят друг на друга.

а)

Решая эти уравнения, получим:

б)

Ответ: а) ; б) .

8. Небольшое тело пустили снизу вверх по наклонной плоскости, составляющей угол α = 15° с горизонтом. Найти коэффициент трения, если время подъёма тела оказалось в ŋ = 2,0 раза меньше времени спуска.

Подъём:

Спуск:

Так как , то

Ответ:

Дополнительная задача не из списка.

Самолёт делает мёртвую петлю радиуса R с постоянной скоростью v. Найти вес лётчика массы m в нижней и верхней точках петли.

Ответ: ; .

Занятие 5. «Законы сохранения импульса и энергии»

1. Два шара массами m₁ = 2,5 кг и m₂ = 1,5 кг движутся навстречу друг другу со скоростями v₁ = 6 м/с и v₂ = 2 м/с. Определить: а) скорость шаров после удара; б) кинетическую энергию шаров T₁ до и T₂ после удара; в) долю кинетической энергии ω шаров, превратившейся во внутреннюю энергию. Удар считать прямым, неупругим.

а)

б)

в)

Ответ: а) ; б) ; ; в) .

2. Л етевшая горизонтально пуля массой m попала, застряв, в тело массой M (баллистический маятник), которое подвешено на двух одинаковых нитях длиной l. В результате нити отклонились на угол θ. Найти: а) скорость пули v перед попаданием в тело; б) относительную долю ŋ первоначальной кинетической энергии пули, которая перешла в тело.

а)

б)

Ответ: а) ; б) .

3. В результате лобового упругого столкновения частицы 1 массы m₁ с покоившейся частицей 2 обе частицы разлетелись в противоположных направлениях с одинаковыми скоростями. Найти массу частицы 2.

Ответ: .

4. После упругого столкновения частицы 1 с покоившейся частицей 2 обе частицы разлетелись симметрично первоначального движения частицы 1, и угол между их направлениями разлёта θ = 60°. Найти отношение масс этих частиц.

Частица 1 до столкновения:

Частица 1 после столкновения:

По закону сохранения энергии:

Ответ:

5. Снаряд, выпущенный со скоростью v₀ = 100 м/с под углом α = 45° к горизонту, разорвался в верхней точке O траектории на два одинаковых осколка. Один осколок упал на землю под точкой O со скоростью v₁ = 97 м/с. С какой скоростью упал на землю второй осколок?

Ответ: .

6. На покоящийся шар налетает со скоростью v₁ = 2 м/с другой шар одинаковой с ним массой. В результате столкновения этот шар изменил направление движения на угол α = 30°. Определить: а) скорости u₁ и u₂ шаров после удара; б) угол β между вектором скорости второго шара и первоначальным направлением движения первого шара. Удар считать упругим.

а)

б)

Ответ: а) ; ; б) .

7. Маятник представляет собой прямой тонкий стержень длиной l = 1,5 м, на конце которого находится стальной шар массой M = 1 кг. В шар попадает летящий горизонтально со скоростью v = 50 м/с стальной шарик массой m = 20 г. Определить угол максимального отклонения маятника, считая удар упругим и центральным. Массой стержня пренебречь.

Закон сохранения механической энергии для маятника после отклонения на максимальный угол:

Ответ: .

Дополнительная задача 3. Автомашина массой m = 1,8 т движется в гору, уклон которой составляет 3 м на каждые 100 м пути. Определите: а) работу, совершаемую двигателем автомашины на пути 5 км, если коэффициент трения равен 0,1; б) развиваемую двигателем мощность, если известно, что этот путь был преодолён за 5 мин.

Ответ: а) ; б) .