Занятие 3. «Кинематика материальной точки и вращательного движения»
Точка движется, замедляясь, по окружности радиусом R так, что в каждый момент времени ее тангенциальное и нормальное ускорение по модулю равны друг другу. В начальный момент t = 0 скорость точки равна v0. Найти: а) скорость точки в зависимости от времени и от пройденного пути S; б) полное ускорение точки в функции скорости и пройденного пути.
а)
Так
как wτ
= wn
и точка замедляется, то: 
б)
Ответ:
а) 
;
;
б) 
.
Твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = at – bt3, где a = 6 рад/с, b = 2 рад/с3. Найти: а) средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от t = 0 до остановки; б) угловое ускорение в момент остановки тела.
а)
б)
Ответ:
а) 
;
;
б) 
.
Точка движется по плоскости так, что её тангенциальное ускорение wτ = a, а нормальное wn = bt2, где a и b – положительные постоянные, t – время. В момент t = 0 точка покоилась. Найти зависимости от пройденного пути S радиуса кривизны R траектории точки и её полного ускорения w.
Ответ:
;
.
Твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его угловая скорость зависит от угла поворота по закону ω = ω0 – aφ, где ω0 и a – положительные постоянные. В момент времени t = 0 угол φ = 0. Найти зависимости от времени: а) угла поворота; б) угловой скорости.
а)
При
t
=
0 и φ
= 0: 
б)
Ответ:
а) 
;
б) 
.
Частица движется по дуге окружности радиуса R по закону l = A sin ωt, где l – смещение из начального положения, A и ω постоянные. Найти полное ускорение частиц в точках l = 0 и l = ±A.
Если
l
= 0: 
Если
l
= ±A:
;
Ответ:
;
.
Колесо вращается вокруг неподвижной оси так, что угол φ его поворота зависит от времени как φ = at2, где a = 0,2 рад/с2. Найти полное ускорение w точки A на ободе колеса в момент времени t = 2,5 с, если линейная скорость A в этот момент v = 0,65 м/с.
Ответ:
.
В момент t = 0 частица вышла из начала координат в положительном направлении оси x. Её скорость меняется со временем по закону
,
где 
- вектор начальной скорости, модуль
которого v0
= 10 см/с, τ
= 5,0 с. Найти: а) координату x
частицы в момент времени 6, 10 и 20 с; б)
моменты времени, когда частица будет
находиться на расстоянии 10 см от начала
координат; в) путь S,
пройденный частицей за первые 4 и 8 с.
а)
б)
При S
= 10 см: 
При
S
= -10 см: 
;
– время не может быть отрицательным;
в)
При t
< τ:
;
При
t
= τ:
;
При
t
> τ:
При
t
= 4 с: 
При
t
= 8 с: 
Ответ:
а) 
;
;
;
б) 
;
;
;
в) 
;
.
Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением, модуль которого зависит от её скорости v по закону
,
где a
– положительная постоянная. В начальный
момент скорость точки равна v0.
Какой путь она пройдёт до остановки?
За какое время этот путь будет пройден?
При
v
= 0: 
Ответ:
;
.
Радиус-вектор частицы меняется со временем t по закону
,
где 
- положительный вектор, α
– положительная постоянная. Найти: а)
скорость
и ускорение
частицы в зависимости от времени; б)
промежуток времени Δt,
по истечении которого частица вернётся
в исходную точку, а также путь S,
который она пройдёт при этом.
а)
б)
Ответ:
а) 
;
;
б) 
;
.