Занятие 1. «Кинематика материальной точки»

1. Радиус-вектор частицы определяется выражением (м). Найти и .

Ответ: ; .

2. Начальное значение радиус-вектора равно (м), конечное (м). Найти: а) приращение радиус-вектора ; б) модуль приращения радиус-вектора .

а)

б)

Ответ: а) ; б) .

3. Написать выражение для косинус угла α между векторами с компонентами (a_x,a_y,a_z) и (b_x,b_y,b_z).

Ответ: .

4. Радиус-вектор частицы изменяется со временем по закону (м). Найти: а) скорость и ускорение частицы; б) модуль скорости v в момент времени t = 1с; в) приближенное значение пути S, пройденного частицей за 11-ю секунду движения.

а)

б)

в)

Ответ: а) ; ; б) ; в) .

5. Начальное значение скорости равно (м/с), конечное (м/с). Найти: а) приращение скорости ; б) модуль приращения скорости ; в) приращение модуля скорости Δv.

а)

б)

в)

Ответ: а) ; б) ; в) .

6. Компоненты одного вектора равны (1,3,5), другого (6,4,2). Найти угол α между векторами.

Ответ: .

7. Радиус-вектор частицы определяется выражением (м). Вычислить: а) путь S, пройденный частицей за первые 10 секунд движения; б) модуль перемещения за то же время.

а)

б)

Ответ: а) ; б) .

8. Частица движется со скоростью (м/с). Найти: а) перемещение частицы за первые 2 секунды ее движения; б) модуль скорости v в момент времени t = 2с.

а)

б)

Ответ: а) ; б) .

Занятие 2. «Кинематика материальной точки»

1. Точка движется в плоскости xy по закону: x = αt, y = at (1 – αt), где α и a – положительные постоянные, t – время. Найти: а) уравнение траектории точки y(x), изобразить её график; б) модуль скорости v и модуль ускорения w точки в зависимости от времени; в) момент τ, в котором вектор скорости составляет угол c вектором ускорения.

а)

б)

в)

- не подходит, так как в нулевую секунду угол не

Ответ: а) ; б) ; ; в) .

2. Тело бросили с поверхности Земли под углом α к горизонту с начальной скоростью v₀. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) время движения τ; б) максимальную высоту подъёма h и горизонтальную дальность полёта L, при каком значении угла α₀ они будут равны; в) уравнение траектории y(x), где x и y – перемещения тела по горизонтали и вертикали соответственно; г) полное, тангенциальное и нормальное ускорение в начале и середине траектории; д) радиус кривизны R начала и вершины траектории.

По начальным условиям:

а)

– полное время полёта

б)

в)

г)

В начале траектории:

В середине траектории:

д) В начале траектории:

В середине траектории:

Ответ: а) ; б) ; ; ; в) ; г) ; ; ; ; ; д) ; .

3. Пушка и цель находятся на одном уровне на расстоянии 5,10 км друг от друга. Через сколько времени снаряд с начальной скоростью 240 м/с достигнет цели в отсутствие сопротивления воздуха?

Ответ: ; .

4. Тело брошено под углом α = 60° к горизонту с начальной скоростью v₀ = 20 м/с. Найти: а) максимальную высоту подъёма и горизонтальную дальность полёта; б) под каким углом β₁ к горизонту движется тело через τ₁ = 1,5 с после начала движения? Через τ₁ = 2,5 с? в) через сколько времени τ₀ и на какой высоте h тело будет двигаться под углом β₂ = 45° к горизонту?

а)

б)

в)

Ответ: а) ; ; б) ; ; в) ; .

5. Над колодцем глубиной h = 10 м бросают вертикально вверх камень с начальной скоростью v₀ = 14 м/с. Через сколько времени камень достигнет дна колодца?

(при броске вверх камень вернётся в ту же точку, т.е. перемещение равно нулю)

(с)

(время не может быть отрицательным)

Ответ:

6. Точка движется в плоскости xy по закону x = a sin ωt, y = a (1 – cos ωt), где ω и a – положительные постоянные, t – время. Найти: а) путь S, проходимый точкой за время τ; б) угол между векторами скорости и ускорения точки.

а)

(скорость постоянна)

(м)

б)

(уравнение окружности)

Так как точка движется по окружности с постоянной скоростью, то вектор скорости перпендикулярен вектору ускорения, т.е. .

Ответ: а) (м); б) .

7. Из пушки выпустили последовательно два снаряда со скоростью v₀ = 250 м/с: первый – под углом α₁ = 60° к горизонту, второй – под углом α₂ = 45° (азимут один и тот же). Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти интервал времени между выстрелами, при котором снаряды столкнутся друг с другом.

t – время полёта второго снаряда, t₀ – интервал между выстрелами.

;

Ответ: .

8. Снаряд, выпущенный из орудия под углом α = 30° к горизонту, дважды был на одной и той же высоте h спустя время t₁ = 10 с и t₂ = 50 с после выстрела. Определить начальную скорость v₀ и высоту h.

Ответ: ; .

9. Частица движется в положительном направлении оси так, что её скорость меняется по закону , где α – положительная постоянная. Имея в виду, что в момент времени t = 0 она находилась в точке x = 0, найти: а) зависимость от времени скорости и ускорения частицы; б) среднюю скорость частицы за время, в течение которого она пройдёт первые S метров пути.

а)

б)

Ответ: а) ; ; б) .