3. Основні методи інтегрування

Для визначення інтегралів, що не є табличними, застосовуються спеціальні прийоми і  методи інтегрування. Найефективнішими і широковживаними є: 1) метод розкладу; 2) метод заміни змінної (підстановки); 3) метод інтегрування частинами.

3.1. Метод розкладу Суть цього методу полягає у розкладі підінтегральної функції на суму декількох доданків, інтеграли від яких знаходять безпосередньо. Отже, якщо , то .

Приклад 3.1.Обчислити інтеграл  . á   Зведемо цей інтеграл до різниці табличних. Для цього у підінтегральному дробі виділимо цілу частину, додаючи і віднімаючи одиницю в чисельнику та почленно ділячи: .  3.2. Метод заміни змінної Нехай необхідно знайти інтеграл  , причому безпосередньо підібрати первісну для функції  не вдається, хоча відомо, що вона існує. Виконаємо заміну змінної  , де   – неперервно-диференційовна функція, що має обернену  . Тоді   і справедлива формула  ,                                             (3.1) яка називається формулою інтегрування заміною змінної.

Зауваження 1.Функцію   треба вибирати так, щоб невизначений інтеграл від правої частини рівності (3.1) можна було звести до табличного.

2.  Після інтегрування у правій частині рівності (3.1) необхідно повернутись до "старої"  змінної  , виразивши   через  :  .  Приклад 3.2.Знайти інтеграл  .  á Щоб визначити інтеграл, зробимо заміну  , звідки  . Тоді інтеграл запишеться .

На практиці частіше застосовується (3.1), записана у зворотній послідовності ,                                        (3.2) де  ;  .  Перетворення частини підінтегрального виразу   називається внесенням під знак диференціала. На підставі (3.2) можна записати:

Алгоритм знаходження невизначеного інтеграла .

• Внесемо функцію   під знак диференціала  . Матимемо

.

• Виконаємо заміну  ; тоді  .

• Знайдемо невизначений інтеграл  .

• Повернемось до змінної  :   звідки  .

Приклад 3.3.Визначити інтеграл   . á   До інтеграла     застосуємо запропонований алгоритм. Оскільки  , то, вважаючи, що  , перетворимо підінтегральний вираз  .  Знайдемо цей інтеграл та повернемось до змінної  , підставляючи   замість  :  .

Очевидно, що успіх інтегрування значною мірою залежить від того, чи вдасться розшукати вдалу заміну змінних, яка б спростила інтеграл. Уміння підбирати таку заміну виробляють, розв’язуючи приклади цього типу. Корисну інформацію, що полегшує такий підбір, подано у табл. 2.  Скористаємось табл. 2 для знаходження ще декількох інтегралів.

Приклад 3.4.   á   а)  ;

б)   .

Часто трапляються інтеграли, аргументом підінтегральних функцій яких є лінійна щодо   функція  . Покажемо, що справедлива

Теорема 3.1. Якщо  , то  .                                        (3.3) Таблиця 2

№ з/п	Вигляд інтеграла	Внесення під знак диференціала	Заміна змінної	Новий вигляд інтеграла
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

Наслідок 1.  (якщо )  Якщо    , то    .

Наслідок 2.(якщо ) Якщо    , то    .  Приклад 3.5.Знайти інтеграли:   а) ; б) ; в) .  á Оскільки  , то згідно з (3.3) якщо   матимемо   . Для інтегралів б, в застосуємо наслідок 1, якщо   та наслідок 2, якщо   відповідно:  ;       .

На підставі теореми 3.1 та її наслідків можна доповнити таблицю основних інтегралів декількома інтегралами, що особливо часто зустрічаються.

Таблиця 3

;                           2)  ; ;                                          4)  ; .

Метод заміни змінної є одним із найвживаніших методів знаходження невизначених інтегралів. Навіть якщо інтегрують іншим способом, часто у проміжних перетвореннях використовується заміна змінної.