Экзаменационная работа для проведения государственного выпускного экзамена по математике (первый курс)

Вариант 1.

1. Вычислите: a) , б) , в) , г) .

2. Решите уравнение: a) , б) ,

в) 5 7 sin x 2 cos² x = 0, г) .

3. Вычислите площадь фигуры, изображенной на рисунке:

а) б)

4. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну x(t) (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость (в м/с) в мо­мент вре­ме­ни t = 4 с.

5. Для по­лу­че­ния на экра­не уве­ли­чен­но­го изоб­ра­же­ния лам­поч­ки в ла­бо­ра­то­рии ис­поль­зу­ет­ся со­би­ра­ю­щая линза с глав­ным фо­кус­ным рас­сто­я­ни­ем f = 30см. Рас­сто­я­ние от линзы до лам­поч­ки - , а рас­сто­я­ние от линзы до экра­на равно 180 см. Изоб­ра­же­ние на экра­не будет чет­ким, если вы­пол­не­но со­от­но­ше­ние . Ука­жи­те, на каком рас­сто­я­нии от линзы можно по­ме­стить лам­поч­ку, чтобы еe изоб­ра­же­ние на экра­не было чeтким. Ответ вы­ра­зи­те в см.

6. Найдите наибольшее значение функции:

a) y = 12cos x + 6 на отрезке , б) y = на отрезке .

7. Решите неравенство: a) , б) ,

в) , г) .

8. а) На рисунке изображен график функции y = f(x) и ее касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции f(x) в точке (рис.а).

б) На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x),опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле . Най­ди­те: про­ме­жут­ки возрастания и убы­ва­ния функ­ции f(x), ука­жи­те их длины; количество точек экстремума; точки, в которых f ^‘(x)=0; точки «max»; точки «min» (рис. б).

а) б)

Экзаменационная работа для проведения государственного выпускного экзамена по математике (первый курс)

Вариант 2.

1. Вычислите: a) , б) , в) , г) .

2. Решите уравнение: a) , б) ,

в) 8 cos² x 12 sin x + 7 = 0, г)

3. Вычислите площадь фигуры, изображенной на рисунке.

а ) б)

4. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну x(t) (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость (в м/с) в мо­мент вре­ме­ни t = 3 с.

5. Для по­лу­че­ния на экра­не уве­ли­чен­но­го изоб­ра­же­ния лам­поч­ки в ла­бо­ра­то­рии ис­поль­зу­ет­ся со­би­ра­ю­щая линза с глав­ным фо­кус­ным рас­сто­я­ни­ем f = 50см. Рас­сто­я­ние от линзы до лам­поч­ки - , а рас­сто­я­ние от линзы до экра­на равно 150 см. Изоб­ра­же­ние на экра­не будет чет­ким, если вы­пол­не­но со­от­но­ше­ние . Ука­жи­те, на каком рас­сто­я­нии от линзы можно по­ме­стить лам­поч­ку, чтобы еe изоб­ра­же­ние на экра­не было чeтким. Ответ вы­ра­зи­те в см.

6. Найдите наименьшее значение функции:

a) y = 8sin x 4 на отрезке , б) y = на отрезке .

7. Решите неравенство: a) , б) ,

в) , г) .

8. а) На рисунке изображен график функции y = f(x) и ее касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции f(x) в точке (рис.а).

б) На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x),опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле . Най­ди­те: про­ме­жут­ки возрастания и убы­ва­ния функ­ции f(x), ука­жи­те их длины; количество точек экстремума; точки, в которых f ^‘(x)=0; точки «max»; точки «min» (рис.б).

а) б)