1) Физический смысл производной.

Если  функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами,  то производная   – скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке .  Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t,  то ее производная  – скорость в момент времени .  Если  q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени  t,  то   – скорость изменения количества электричества в момент времени , т.е. сила тока в момент времени .

2) Геометрический смысл производной.

Пусть   – некоторая кривая,  – точка на кривой  .

Любая прямая, пересекающая   не менее чем в двух точках называется секущей.

Касательной к кривой  в точке   называется предельное положение секущей   ,  если точка   стремится к  ,  двигаясь по кривой.

Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке  существует, то она единственная

11.правила и формулы дифференцирования

Дифференцирование – это вычисление производной.

 

1. Формулы дифференцирования.

Основные формулы дифференцирования – в таблице. Их необязательно зазубривать. Поняв некоторые закономерности, вы сможете из одних формул самостоятельно выводить другие.

1. 12.схема исследования и построения графика функций с помощью производной

   1. Найти ОДЗ и точки разрыва функции.

   2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

2. Провести исследование функции с помощью первой производной, то есть найти точки экстремума функции и интервалы возрастания и убывания.

3. Исследовать функцию с помощью производной второго порядка, то есть найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.

4. Найти асимптоты графика функции: а) вертикальные, b) наклонные.

На основании проведенного исследования построить график функции. Вспомним, что функция называется четной, если при изменении знака аргумента значение функции не меняется: f(-x) = f(x) и функция называется нечетной, еслиf(-x) = -f(x).

В этом случае достаточно исследовать функцию и построить её график при положительных значениях аргумента, принадлежащих ОДЗ. При отрицательных значениях аргумента график достраивается на том основании, что для четной функции он симметричен относительно оси Oy, а для нечетной относительно начала координат

13.Первообразная и неопределенный интеграл,обозначения Свойства неопределённого интеграла

Свойства первообразных и неопределённого интеграла вытекают из определения и соответствующих свойств производных.

1. Из определения вытекает, что

и

Второе равенство нужно понимать так, что производная любой из функций, составляющих неопределённый интеграл, даёт один и тот же результат, равный подынтегральной функции (это как раз и есть определение первообразной). Два написанных равенства выражают взаимную обратность операций дифференцирования и интегрирования.

2. Имеет место равенство:

где    -- произвольная постоянная. Для доказательства обозначим через  некоторую первообразную для   , а через    -- некоторую первообразную для   . Тогда равенство означает, что   , где    -- постоянная. Это равенство верно, поскольку производные левой и правой частей дают одно и то же:   , так как    -- первообразная для   , а   , так как постоянный множитель можно вынести за знак производной и   .

Итак, постоянный множитель можно вынесить за знак интеграла.

3. Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

Действительно, пусть первообразная для   равна   , для   равна   , а для   равна   . Тогда равенство означает, что

где   . Поскольку

и

то равенство верно; при этом мы воспользовались тем, что производная суммы равна сумме производных.

Свойства 2 и 3 называются свойствами линейности неопределённого интеграла. Из них следует, что для любых постоянных   и 

и, в частности,

        Пример 1.4   Найдём интеграл   , пользуясь линейностью интеграла. Этот интеграл можно разбить на два интеграла, от каждого из слагаемых, и вынести в обоих постоянные множители за знак интеграла:

Заметим, что произвольное постоянное слагаемое достаточно записать один раз: написав  и   , мы сгруппировали бы постоянные слагаемые и получили произвольную постоянную   .     

4. Формула замены переменного. Пусть имеет смысл сложная функция   , где   изменяется на некотором интервале. Тогда

(1.3)

(В левой части после вычисления интеграла   сделана подстановка   .) Для доказательства обозначим через   некоторую первообразную для   и через    -- первообразную для   . Это означает, что   и   . Доказываемое равенство (1.3) эквивалентно тогда такому:

или

Для доказательства последнего соотношения достаточно проверить. что совпадают производные левой и правой частей. Но по формуле производной сложной функции получаем:

то есть то же, что и   . Формула (1.3) доказана.

Заметим, что выражение   в правой части (1.3) есть не что иное, как дифференциал   функции   . Так что мы можем записать (1.3) в виде

Теперь, после этого доказательства, мы получили право трактовать   в обозначении неопределённого интеграла как некоторый дифференциал, а не просто как элемент обозначения интеграла, вроде скобки.

        Пример 1.5   Вычислим интеграл   . Возьмём   , тогда   и   . Подставляя это выражение под знак интеграла, получаем:

(Между двумя вертикальными чёрточками мы записываем комментарий к проделанным преобразованиям и сделанные обозначения. Эта запись не является обязательным элементом решения, но для понимания происходящего весьма полезна.)

Всюду, где выражение зависит от   , имеется в виду подстановка   ; освободившись от интеграла, мы выполняем эту подстановку в явном виде.     

Линейная замена. Разберём особо случай, когда подынтегральная функция зависит от линейного выражения   (где   ), то есть интеграл имеет вид

В этом случае интеграл можно упростить с помощью естественной замены   , откуда   и   . Пусть известна первообразная   для   :

Выполняя подстановку, получаем:

Полученную формулу

(1.4)

мы будем далее широко использовать, не всегда делая ссылки на её номер (1.4). Эту формулу следует хорошо запомнить, в особенности то, что при интегрировании с помощью линейной замены вперёд выходит множитель   , а не   , как при дифференцировании функции   .

Например,

и т. п. При   получаем

и, в частности, при 

Последнюю формулу полезно рассматривать как табличную.

5. Формула интегрирования по частям. Пусть функции   и   имеют производную на рассматриваемом интервале изменения   . Тогда верно равенство

(1.5)

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Она позволяет "перебрасывать" производную с функции   , стоящей под знаком интеграла, на другой подынтегральный множитель   . При этом в правой части равенства появляется внеинтегральный член   .

Пусть    -- первообразная для   и    -- первообразная для   . Тогда равенство (1.5) можно записать в виде

где    -- некоторая постоянная. Докажем, что производные левой и правой частей совпадают. По определению,   . С другой стороны,

то есть производные совпадают, и формула (1.5) доказана. Мы видим, что она является следствием формулы для производной произведения.

Вводя обозначения   и   и замечая, что   и   , мы можем записать формулу интегрирования по частям в виде

В таком кратком виде её рекомендуется запоминать.

        Пример 1.6   Найдём интеграл   , применив формулу интегрирования по частям. Положим   и   . Тогда   и   . Значит,

(Между вертикальными линиями записывается комментарий, как и в случае применения замены переменных и других вычислений с интегралами. Содержимое комментария не является частью формулы и записывается для удобства. В принципе, писать этот комментарий не обязательно, хотя и очень полезно.)

Здесь интеграл, получившийся в правой части при применении интегрирования по частям, является табличным, то есть он оказался проще исходного, что и привело нас к успеху в вычислении.     

        Замечание 1.2   При переходе от левой части к правой части в формуле интегрирования по частям происходит следующее: от функции   мы переходим к функции   под знаком интеграла в правой части (точнее, к дифференциалу   ), то есть функцию   мы дифференцируем. Одновременно от функции   (или от дифференциала   ) мы переходим под интегралом в правой части к   , то есть функцию   мы интегрируем (напомним, что первообразная для   есть   ).

Таким образом, применять формулу интегрирования по частям для вычисления неопределённого интеграла разумно в двух случаях:

а) либо когда функция   "не слишком ухудшается" при дифференцировании, а функция   "значительно улучшается" при интегрировании;

б) либо когда функция   "значительно улучшается" при дифференцировании, а функция   "не слишком ухудшается" при интегрировании.

Тогда дело в целом оправдано: происходит "некоторое улучшение" интеграла в правой части по сравнению с интегралом в левой части, в том смысле, что интеграл в правой части оказывается проще исходного.     

В разобранном выше примере мы дифференцировали функцию   , от чего она "сильно улучшилась":   . Функцию   мы интегрировали, отчего она "не сильно ухудшилась" (точнее говоря, совсем не изменилась, поскольку   ). В результате интеграл в правой части оказался проще исходного.

Приведём ещё один пример, подкрепляющий эти эмпирические соображения:

        Пример 1.7   Найдём интеграл   . Здесь разбить подынтегральное выражение  на два множителя   и   можно только так:   и   . При этом дифференцирование   приводит к упрощению (то есть к "улучшению", с точки зрения вычисления интеграла):   , при этом "исчез" логарифм, который можно считать более сложной функцией, чем степень   . Интегрирование же множителя  даёт   , то есть не сильно "ухудшает" этот множитель. Поэтому оправдано применение интегрирования по частям:

    

        Замечание 1.3   К сожалению, природа устроена так, что никакой простой формулы, позволяющей вычислить интеграл от произведения двух функций, подобно тому, как мы вычисляем производную произведения, не существует. Всё, что можно предложить по этому поводу -- это формула интегрирования по частям.

Дадим советы по наиболее часто встречающимся случаям применения этой формулы.

Если в подынтегральной функции содержатся как множители степень   (где  ) и синус, косинус или экспонента (показательная функция), то имеет смысл взять   и дифференцировать, а к   отнести синус, косинус или экспоненту, умноженные на   , и интегрировать этот множитель. При этом степень   при дифференцировании понизится, синус при интегрировании перейдёт в косинус, а косинус в синус (это не приведёт к сильному усложнению), экспонента же вовсе не изменится. В целом интеграл в правой части будет проще исходного.

Таким способом можно, например, вычислить интегралы   ,   ,   и подобные им. Иной раз формулу интегрирования по частям приходится применять и к тому интегралу, что образовался в правой части после первого интегрирования по частям.

        Упражнение 1.1   Найдите перечисленные интегралы с помощью интегрирования по частям.     

Если же в подынтегральном выражении имеется степенная функция   и одна из функций   или   , то к дифференциалу   лучше отнести   , а дифференцировать множитель, содержащий одну из перечисленных функций. Так мы и поступили в рассмотренном выше примере 1.7. Дело в том, что степенная функция при интегрировании остаётся степенной функцией, лишь показатель степени повышается на 1, а перечисленные функции при дифференцировании "улучшаются" (см. таблицу производных). По этому способу можно вычислить, например, интегралы   ,   ,   ,   .     

        Упражнение 1.2   Найдите перечисленные интегралы с помощью интегрирования по частям.

Указание. В первом из интегралов после применения формулы интегрирования по частям сделайте замену   в образовавшемся в правой части интеграле.

При вычислении второго интеграла после интегрирования по частям получится интеграл   . Его можно вычислить, применив снова формулу интегрирования по частям; при этом в правой части получается такой же интеграл   , после чего находим   из образовавшегося уравнения: