15. Двойной интеграл. Определение и свойства двойного интеграла. Его геометрический смысл. Условия существования двойного интеграла.

Двойным интегралом по области D функции f(x, y) называется lim интегральных сумм при неограниченном извлечении числа разбиений и стремление максимального диаметра тела к 0.

Св-ва:

Двойной интеграл обладает следующими свойствами:

1. 

2. 

3. , где k - константа;

4. Если   в области R, то  ;

5. Если   в области R и   (рисунок 4), то 

6. Если   на R и области R и S являются непересекающимися (рисунок 5), то  . 

Геометрический смысл двойного интеграла:

при неотрицательной функции f(x,y), двойной интеграл по области D представляет из себя объем криволинейного цилиндра, который построен на области D и ограничен сверху поверхностью z=f(x,y).

Условия существования:

Если f(x, y) непрерывна на замкнутом, ограниченном множестве D, то существует конечное значение двойного интеграла этой области.

16. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.

Пусть область D - правильная в отношении оси Ох (рис. 2.6.)

Т огда в этом случае область D может быть задана одной системой неравенств:

Если существует двойной интеграл (это возможно, например, если f(x; y) непрерывна на D), то его можно вычислить через повторный кратный интеграл так:  При этом внутренний интеграл по у находится при постоянном х.

17. Переход в двойном интеграле от декартовой системы координат к полярной.

18. Приложения двойных интегралов для вычисления площадей плоских фигур, объемов тел и площадей криволинейных поверхностей.

1.

2.

3. z= , где p=f’_x(x, y), q= f’_y(x, y).

19. Некоторые понятия, связанные с дифференциальными уравнениями (ДУ) 1-го порядка. Задача Коши. Формулировка теоремы Коши для ДУ 1-го порядка.

Обыкновенным ДУ называется уравнение, в которое неизвестная функция y(x) входит под знаком производной или дифференциала.

Порядок старшей производной или старшего дифференциала называется порядком уравнения.

Если искомая функция зависит от нескольких переменных, то уравнение называется уравнением частных производных.

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в верное равенство на некотором промежутке числовой оси.

Задача Коши — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла)дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным). Начальные данные задаются при t=0, а решение отыскивается при t>0.

Теорема о существовании и единственности решения задач Коши:

Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D и имеет ограниченную f’_y(x, y) в точке , то существует и при том единственное решение задачи Коши, удовлетворяющее уравнению в некоторой окрестности и начальному условию.

20. Интегрируемые ДУ 1-го порядка: ДУ с разделенными и разделяющимися переменными, однородные уравнения, линейные уравнения и уравнения Бернулли, уравнения в полных дифференциалах и уравнения, не разрешенные относительно производной.

1) f1(x)dx=f2(y)dy

∫f1(x)dx=∫f2(y)dy+C

2)

3)

4)

5)

6)

7)  

21. ДУ n-го порядка. Свойства решения ЛОДУ. ФСР ЛОДУ. Критерий фундаментальности. Теорема об общем решении ЛОДУ n-го порядка.

F(x, y, y’,…,y⁽ⁿ⁾) называется ДУ n-го порядка, не разрешенным относительно y⁽ⁿ⁾.

y⁽ⁿ⁾=f(x, y, y’,…,y^(n-1)) называется ДУ n-го порядка, разрешенным относительно y⁽ⁿ⁾.

– решение, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное равенство на некотором промежутке числовой оси.

Св-ва:

1) Если функция y₁(x), y₂(x)-решение ЛОДУ, то функция y= y₁(x)+ y₂(x) также решение.

2) Если y₁(x) – решение ЛОДУ, то y=C₁y₁(x) также решение на (a;b)

Следствие:

Если y₁, y₂,…, y_k – решение ЛОДУ на (a;b), то из линейная комбинация также является решением ЛОДУ y= C₁y₁(x)+ C₂y₂(x)+…+ C_ny_n(x)

Система функций { y₁(x), y₂(x),…, y_n(x)} называется ФСР ЛОДУ n-го порядка, если эти функции являются решениями ЛОДУ, линейно независимые на (a;b).

Критерий фундаментальности:

Чтобы n решений { y₁, y₂,…, y_n} ЛОДУ n-го порядка были независимые, нужно, чтобы определитель Вронского был отличен от 0 на (a;b).

Определитель Вронского

Теорема:

Если функции { y₁(x), y₂(x),…, y_n(x)} образуют ФСР ЛОДУ n-го порядка, то y_oo= C₁y₁(x)+ C₂y₂(x)+…+ C_ny_n(x).