3.5. Обчислення наближених значень функцій

Нехай аналітична в одиничному крузі функція. Тоді її значення в будь-якій точці z цього круга можна знайти за формулою:

. (3.11)

Тобто для знаходження значення аналітичної функції в точці досить знати значення функції та її похідних усіх порядків в точці 0. Якщо відомі тільки значення функції на послідовності точок , яка збіжна до 0, і значення функції в точці 0, то наближене значення функції в точці z знаходимо наступним чином.[8] В розкладі (3.11) беремо тільки декілька перших членів ряду. Потім кожні значення похідних функцій в точці 0, які залишились, замінюємо наближеними значеннями. В залежності від вигляду послідовності і точності наближення похідних отримаємо наближені значення функції в точці z з різною точністю.

Розглянемо на прикладі обчислення значень функцій в точках , . У розкладі (3.11) відкинемо члени ряду, які містять похідні функцій в точці 0 порядку вищого за п’ять. При виборі , точності обчислень 10000 знаків після коми з виводом на екран 10 знаків (таблиця 3.12) отримаємо наступні результати:

Таблиця 3.12. Обчислення значень аналітичних функцій

Точне значення	Наближене значення при n=10	Наближене значення при n=25

Проведемо аналогічні обчислення для тих же аналітичних функцій,при виборі (див. Таблиця 3.13).

Таблиця 3.13. Обчислення значень аналітичних функцій

Точне значення	Наближене значення при n=5	Наближене значення при n=10

Для значень абсолютної та відносної похибок значень функцій в точці (при n=10) отримаємо наступні результати:

Таблиця 3.14. Обчислення похибок обчислень значень аналітичних функцій

	Cos(z)
Абсолютна
Відносна
	ez
Абсолютна
Відносна
	Sin(z)
Абсолютна
Відносна

Проаналізувавши таблицю 3.14 можна зробити висновок, що при виборі точність обчислень значень аналітичних функцій більша ніж при .

РОЗДІЛ 4. Охорона праці та безпека в надзвичайних ситуаціях