3.3. Аналіз результатів наближених значень похідних другого порядку.

Скористаємося формулою (3.7) для знаходження наближених значень других похідних.

Аналогічно до пункту 3.1 оцінка точності похідної другого порядку буде прямувати до нуля.

Проаналізуємо результати обчислень наближених значень похідних другого порядку для функцій , . Точність обчислень 500 знаків після коми з виводом на екран 10. Обчислення проводимо при різних напрямках. Можна сказати, що, як і у випадку першої похідної, точність при обчисленнях з різних напрямків однакова.

Проведемо порівняння точних і наближених значень похідних другого порядку при , , , (табл. 3.5).

Таблиця 3.5 Порівняння значень похідних другого порядку

Точне значення -1
Точне значення 0
Точне значення 1

Використовуючи формулу (3.7), обчислимо наближені значення другої похідної деяких аналітичних функцій і порівняємо їх з точними значеннями. А також знайдемо абсолютну та відносну похибки.

Обчислення проводимо при з точністю обчислень 10000 знаків після коми, з виводом на екран 15-ти знаків, див. табл. 3.6.

Таблиця 3.6 Порівняння похибок обчислень наближених значень похідних другого порядку

Наближене значення	Точне значення	Абсолютна похибка	Відносна похибка
Похідна другого порядку
	200
	0
	0
	-10
	-10000
	-100
	-200
	1000
	10000
	100

Можна зазначити, що чим більше значення n, тим точніші результати отримуємо при обчисленні похідних.

Порівнюючи результати обчислень при наближенні з різних сторін, бачимо, що точність обчислень не відрізняється.

Провівши аналіз обчислень наближених значень похідних першого і другого порядку по формулах (3.2),(3.3) та (3.6),(3.7) відповідно (табл. 3.7), можна зробити висновок, що формули є рівносильні для наближення похідної в точці, але у формулах (3.6)-(3.7) для знаходження похідних вищих порядків не обов’язково обраховувати похідні нижчих порядків, адже вони не використовуються. І тому вони є набагато ефективнішими, оскільки не викликає труднощів при обчисленні наближених значень похідних будь-яких функцій.

Точність обчислень 500 знаків після коми, з виводом на екран 30-ти знаків при .

Таблиця 3.7 Порівняння наближених значень похідних аналітичних функцій за різними формулами

Перша похідна
Друга похідна
Перша похідна
Друга похідна
Перша похідна
Друга похідна

Програмна реалізація обчислень наближених значень перших і других похідних аналітичних функцій реалізована в програмному пакеті Maple, див. Додаток В.

Порівнюючи ці результати, можна сказати, що як і відносно першої похідної точність така сама.