§ 5. Дифф. Уравнения в частных производных.

Волновое уравнение:

Уравнение диффузии:

Граничные условия: .

Метод Фурье разделения переменных.

Пусть функция представима в виде произведения двух функций от каждом переменной: .

Тогда , следовательно, . Поскольку в разных частях равенства получились функции от разных переменных, то единственная возможность их равенства - они являются константами. Поэтому .

Доказывается, что при решение (с учётом условия ) только нулевое, остаётся лишь . Обозначим , , характеристические корни .

. Учитывая , остаётся , , , .

ЛЕКЦИЯ 16 - 27.05.2014

Метод Фурье разделение переменных: завершение.

Комплексные числа, степени и корни, тригонометрическая и показательная форма и действия с помощью них.

Понятие комплексного числа и основы действий с ними. Действительная, мнимая часть. Тригонометрическая и показательная форма.

Доказательство формулы Эйлера .

Формула Муавра для возведения в степень.

Примеры: , , , .

ЛЕКЦИЯ 17 - 3.06.2014

Комплексные числа

Примеры: , , .

Корни из комплексного числа. Доказательство того, что при разнице углов , n -я степень чисел одинакова.

Формула корней степени n .

Примеры по этой формуле. .

2 Семестр вопросы к экзамену (доказательства из конспекта лекций)

(как правило, помечены там знаком *** )

Доказать, что ортогонален поверхности .	Теорема: сходится первообразная имеет конечный предел .
Вывести формулу вычисления производной функции по направлению вектора	Вывод формулы площади явно заданной поверхности: .
Вывести формулу касательной плоскости к поверхности.	Вывести формулы перехода к полярным координатам и вычислить их определитель Якоби.
Вывод формулы производной для параметрически заданной кривой.	Вывести формулы перехода к цилиндрическим координатам и их определитель Якоби.
Вывод формулы производной для неявно заданной кривой:	Вывести формулы перехода к сферическим координатам.
Вывести формулу Тейлора для , , , .	Доказать, что поле F потенциально симметрична производная матрица, состоящая из всех производных от P,Q,R по x,y,z.
Доказать формулу «интегрирования по частям»	Доказать, что криволинейный интеграл 2 рода от F не зависит от пути циркуляция = 0.
Вывод формулы для интегралов .	Доказать, что циркуляция = 0 криволинейный интеграл 2 рода от F не зависит от пути.
Обосновать действие замен для интегралов вида .	Доказать, что поле F потенциально криволинейный интеграл 2 рода от F не зависит от пути.
Доказать, что замена замена в интеграле сводит к рациональной дроби от .	Доказать, что криволинейный интеграл 2 рода от F не зависит от пути поле F потенциально.
Обосновать действие подстановок для и	Доказать, что замена сводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.
Интегрирование выражений , , . Обосновать, как корень преобразуется в тригонометрическую функцию.	Обосновать метод сведения уравнения Бернулли к линейному уравнению с помощью замены
Доказать, что является первообразной для .	Вывести и обосновать замену, доказать что . Доказать, что замена понижает порядок уравнения, в котором отсутствует , то есть уравнения вида .
Доказать формулу Ньютона-Лейбница. .	Доказать, что является решением линейного однородного дифференциального уравнения r есть характеристический корень.
Вывести формулу объёма тела вращения ,	Доказать, что линейная комбинация решений линейного однородного дифференциального уравнения тоже является его решением.
Вывод формулы длины явно заданной кривой в декартовых координатах: .	Теорема о наложении решений. Если y1 - решение линейного неоднородного дифф.уравнения с правой частью b1(x), а y2 - решение такого же дифф.уравнения, но с правой частью b2(x), то линейная комбинация Ay1 + By2 является решением уравнения с правой частью Ab1(x) + Bb2(x).
Вывод формулы коэффициента Фурье для произвольной ортогональной системы: или	Доказать, что система функций линейно-зависима.
Доказать, что несобственный интеграл 1-го рода сходится при , а несобственный интеграл 2-го рода сходится при .	Если r=0 является характеристическим корнем кратности k линейного однородного дифференциального уравнения, то функции 1, x, x2, x3,...,xk-1 принадлежат ФСР однородного дифференциального уравнения.
	Доказать, что явл. реш. лин. однородной системы дифф. ур собст. вектор, собст число.

Примеры из лекций: Примечание. В билетах могут быть любые задачи, разбиравшиеся на занятиях в качестве примера, помечены в конспекте как «пример».

, ,

(понижение порядка)

, , . .

. . .

= . . = . .

= . Пример - Доказательство формулы

. . .

Пример: доказательство формулы объёма шара с помощью формулы объёма тел вращения.

Пример: разложить в ряд Фурье функцию

, . , , .

,

Смена порядка интегрирования: Пример: ,

Вычисление тройных интегралов. Примеры.

Пример. Найти объём тетраэдра с вершинами (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1).

Вычислить интеграл где D - часть круга единичного радиуса в первой четверти плоскости.

Пример: Доказать формулу площади круга с помощью полярных координат.

Пример: доказать формулу объёма конуса

Вычислить определитель Якоби .

Пример: доказать формулу объёма шара с помощью тройного интеграла и сферических координат.

Пример Найти работу поля F = (xy,x+y) по участку кубической параболы от (0,0) до (1,1). Решение: Ответ 29/20.

Пример: - тогда .

Пример. . Доказать, что поле потенциально, и найти потенциал.

Пример вычисления работы по единичной окружности от поля F = (-y,x) без формулы и по формуле Грина.

Пример. Доказать, что поле потенциально и найти его потенциал.

Примеры: , , Пример. методом Лагранжа.

Пример.

Пример: Пример . Примеры. x,2x x,x².

Пример . Пример . Пример. .

Пример. . Пример. Решение методом Лагранжа уравнения

Пример. совпадает с корнем кратности 2, ответ

Пример. Однородная система . Отв. .

Пример. Неоднородная система. отв .

Алгоритмы решений задач, разбиравшихся на практике. Техника дифференцирования, таблица производных, частная производная, градиент, производная по направлению, уравнение касательной, экстремумы функции одной и двух переменных. Интегрирование элементарные преобразования, подведение под знак дифференциала, по частям, рац дроби, интегрирование с заменами - иррац-сти и триг функции, а также с корнями , , Определённый интеграл, площади фигур. Несобственный интеграл 1 и 2 рода - уметь вычислить а также выяснить сходимость или расходимость по признакам.

Двойной интеграл, замена порядка интегрирования и вычисление, а также полярные координаты.

Тройной интеграл, а также сферические и цилиндрические координаты.

Криволинейный и поверхностный интеграл от векторной функции (работа поля, поток поля через поверхность). Потенциал поля. Вычисление с помощью формул Грина, Стокса, Остроградского-Гаусса.

Дифф уравнение 1 порядка (+ с задачей Коши). С разделяющимися переменными, однородное, линейные - однородные и неоднородные, Бернулли, в полных дифференциалах.

Понижение порядка - 2 метода. Линейное однор и неоднор старшего порядка. Метод Лагранжа и метод неопределённых коэффициентов. Системы дифф. уравнений - матричный метод и сведение к одному уравнению.