Історія

Розробку NURBS було розпочато в 1950-х роках інженерами, яким потрібно було математично точне подання поверхонь довільної форми (таких як корпуси кораблів, літаків, космічних апаратів та автомобілів) з можливістю точного копіювання та відтворення щоразу, коли це потрібно. До появи подань такого роду проектувальник створював одиничну фізичну (матеріальну) модель, котра й слугувала еталоном.

Піонером цих досліджень були французи П'єр Безьє, інженер з компанії Рено, та Поль де Кастельє, співробітник компанії Сітроен; працювали вони в один час незалежно один від одного. Однак, оскільки Безьє опублікував результати своєї роботи, більшість обізнаних з комп'ютерною графікою знають про сплайни — криві, що задаються контрольними точками, — саме через сплайни Безьє; тоді як ім'я де Кастельжо згадується лише разом з алгоритмами, котрі він винайшов для обчислення параметричних поверхонь. У 1960-х було встановлено, що нерівномірні раціональні B-сплайни є узагальненням сплайнів Безьє, які можна визначити як рівномірні раціональні B-сплайни.

Першою роботою зі згадуванням NURBS стала дисертація Кена Версприла (Ken Versprille), аспіранта Сіракузського університету в Нью-Йорку [Versprille 1975]. В 2005 году CAD Society, некомерційна асоціація галузі САПР, присудила Кену Версприллу нагороду за неоцінний вклад в технологію САПР у вигляді NURBS.

Спочатку NURBS використовували лише у комерційних CAD(Computer-aided design)-системах для автомобільних компаній. Пізніше вони стали невід'ємною частиною стандартних пакетів програм для комп'ютерної графіки.

Інтерактивне вимальовування кривих та поверхонь NURBS у реальному часі стало вперше доступним на робочих станціях Silicon Graphics у 1989 році. У 1993 невелика компанія CAS Berlin, що співробітничала з Берлінським технічним університетом, розробила перший інтерактивний редактор NURBS для персональних комп'ютерів, названий NöRBS. Сьогодні більшість професійних програм для комп'ютерної графіки можуть працювати з NURBS, що здебільшого реалізується включенням до цих програм NURBS-рушія, розробленого спеціалізованою компанією.

Визначення

Розглянемо формулу для обчислення радіус-вектору раціональної параметричної кривої на основі B-сплайнів N_{i, k}(u), яка побудована по вершинам р_і, і =1,2,…, n (n  k), з вагами w_i і має вигляд

(1)

де вагові w_i > 0, якщо усі w_i = 1, інтеграл у випадку кусково-поліноміального сплайну відновлюється.

Тут радіус-вектор кривої дорівнює частці від ділення деякого вектора на вагу кривої в даній точці. Кожен із В-сплайнів k-го порядку N_{i, k}(u) побудований на послідовності із k+1 вузлів u_i, u_i+1, u_i+2,…, u_i+k. Значення вузлів повинні утворювати не спадну послідовність. Криві, побудовані на множині не рівновіддаленими вузлів називаються неоднорідними. Параметрична відстань між сусідніми вузлами змінюється при переході від вузла до вузла. Тоді крива представлена співвідношенням (1) називається NURBS - Non Uniform Rational B-Spline (Неоднорідний Раціональний Фундаментальний B-Сплайн). Ці функції мають ті ж властивості, що і В-сплайни, і здатні представляти більш широкий клас геометрій. Ця крива може бути використана у моделюванні, так як вона має певний порядок гладкості, досить легко обчислюється і легко управляється своїми вершинами. Наприклад, легко можна модифікувати NURBS так, щоб вона проходила через вказану точку або дотикалась в ній.