Линейные операции над векторами в координатной форме

Пусть даны два вектора:   и  . Произведение вектора на число l равно

.                                 (2.19)

П р а в и л о: чтобы умножить вектор на число l , нужно умножить на это число каждую координату. Тогда условие коллинеарности в координатной форме имеет вид:

.

Приравнивая одноименные координаты, получим

                                             (2.20)

или  .                                                       (2.21)

В ы в о д : координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

Найдем сумму и разность векторов:

,                                (2.22)

.                                 (2.23)

В ы в о д : все линейные операции над векторами сводятся к точно таким же линейным операциям над их соответствующими координатами.

Задача 1. Найти коллинеарные векторы среди

.

Решение. Если  , то их координаты должны быть пропорциональны, но

, следовательно,  ;

, так как  ;  , так как  ;

, так как  .

Ответ:   или  ;   или  .

 

Задача 2. Доказать, что точки A(-1,5,10), B(5,-7,8), C(2,-1,-1) лежат на одной прямой.

Решение. Найдем любые два вектора, например,   и  :

, . Если точки лежат на одной прямой, то эти векторы будут коллинеарны, тогда их координаты должны быть пропорциональны  ; , а значит точки А, В, С лежат на одной прямой (рис. 32).

назад

Нелинейные операции с векторами, заданными координатами

Скаля́рное произведе́ние иногда внутреннее произведение — операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.

Обычно используется одно из следующих обозначений:

, , ,

или (обозначение Дирака, часто применяемое в квантовой механике для векторов состояния):

.

Обычно предполагается, что скалярное произведение положительно определено, то есть

 для всех  .

Если этого не предполагать, то произведение называется индефинитным.

  Скалярное произведение 

     Скалярное произведение векторов   и  : 

где   - угол между векторами   и  ; если   либо  , то 

     Из определения скалярного произведения следует, что   где, например,  есть величина проекции вектора   на направление вектора  .

     Скалярный квадрат вектора: 

     Свойства скалярного произведения:             

     Скалярное произведение в координатах 

     Если     то   

     Угол между векторами 

       

     Векторное произведение 

     Векторное произведение векторов   и   - вектор, обозначаемый     или   для когорого:

     1)   (  - угол между векторами   и  ,  );

     2) 

     3) тройка  ,  ,   - правая.

     Свойства векторного произведения:            если  , то   равен площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах   и  .

  Векторное произведение в координатах 

      Если    , то 

или 

или 

      В частности             

     Некоторые соотношения 

       (двойное векторное произведение),

       (тождество Якоби),

       

     Смешанное произведение трех векторов 

     Определение: 

     Свойства смешанного произведения:         - компланарны.

     Если V - объем параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах  ,   и  , то  если тройка   правая, и   если тройка левая.

Смешанное произведение в координатах 

      Если       то

назад