Вопрос 18

Вектор, модуль вектора. Векторы равные, коллинеарные, противоположные. Линейные операции в множестве векторов (сумма, разность векторов, умножение вектора на действительное число). Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Орты ( ), ( ), координаты вектора на плоскости, в пространстве, линейные операции с векторами, заданными координатами. Нелинейные операции с векторами, заданными координатами: скалярное произведение, свойства, векторное произведение, свойства; смешанное произведение, свойства.

Ответ:

векрот

Вектор — многозначный термин; величина, характеризующаяся размером и направлением.

В физике и математике вектор - это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением.

назад

Модуль вектора

Модуль вектора можно найти, если мы знаем его проекции на координатные оси.

на плоскости задан вектор а (рис. 15).

Рис. 15

Опустим с начала и конца вектора перпендикуляры на координатные оси для нахождения его проекций. В соответствии с теоремой Пифагора

. Отсюда

.

Эту формулу надо знать НАИЗУСТЬ.

Запомните!

Чтобы найти модуль вектора надо извлечь корень квадратный из суммы квадратов его проекций.

Вы уже знаете, что проекцию вектора на ось можно найти, если из координаты точки конца вектора вычесть координату точки его начала. Тогда для нашего вектора, если он задан на плоскости, а_x = х_к − х_н, а_y = y_к − y_н. Следовательно, модуль вектора можно найти по формуле

.

Нетрудно сообразить, как будет выглядеть формула, если вектор задан в пространстве.  Обратите еще внимание вот на что. Ведь модуль вектора – это длина отрезка, заключенного между двумя точками: точкой начала вектора и точкой его конца. А это ни что иное, как расстояние между двумя этими точками. Поэтому чтобы найти расстояние между любыми двумя точками, нужно вычислить модуль вектора, соединяющего эти точки.

назад

Коллинеарные, равные, противоположные векторы

Два отличных от нуля вектора, которые находятся на одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными векторами.

  

Если два вектора a⃗  и b⃗  коллинеарны, то это записывается так: a⃗ ∥b⃗ 

Два коллинеарных вектора могут быть направлены в одном направлении или в противоположных направлениях. В первом случае коллинеарные векторы называются сонаправленными, а во втором - противоположно направленными векторами.

  

Сонаправленные векторы записываются a⃗ ↑↑b⃗  или b⃗ ↑↑a⃗ ;  противоположно направленные векторы записываются  a⃗ ↑↓b⃗  или b⃗ ↑↓a⃗ .

 

Векторы с равными модулями и одинаковыми направлениями называются равными векторами. 

 

Равные векторы a⃗  и b⃗  записываются так: a⃗ =b⃗  или b⃗ =a⃗ .

 

Векторы с равными модулями и противоположными направлениями называются противоположными векторами. 

 

Противоположные векторы a⃗  и b⃗  записываются так: a⃗ =−b⃗  или b⃗ =−a⃗ .

 

Меняя направление какого-либо вектора на противоположное, получается вектор, противоположный данному: AB−→−=−BA−→−.

назад

Линейные операции в множестве векторов

Скаляры можно складывать, умножать и делить так же, как обычные числа.

Поскольку вектор характеризуется не только числовым значение, но и направлением, сложение векторов не подчиняется правилам сложения чисел. Например, пусть длины векторов a = 3 м, b = 4 м, тогда a + b = 3 м + 4 м = 7 м. Но длина вектора c⃗ =a⃗ +b⃗  не будет равна 7 м (рис. 1).

Рис. 1.

Для того, чтобы построить вектор c⃗ =a⃗ +b⃗  (рис. 2), применяются специальные правила сложения векторов.

Рис. 2.

А длину вектора суммы c⃗ =a⃗ +b⃗  определяют по теореме косинусов  где α – угол между векторами a⃗  и b⃗ .