Тема 3. Эффект Комптона

Э ффектом Комптона называется изменение длины волны рентгеновского излучения при его рассеянии веществом, содержащим легкие атомы.

Эффект Комптона не удается объяснить на основе классической волновой теории света, т.к. он является релятивистским квантовым эффектом.

Согласно квантовой теории, эффект Комптона  результат упругого столкновения рентгеновского фотона (кванта электромагнитной волны) со свободной или почти свободной микрочастицей. При столкновении фотон передает микрочастице часть своей энергии и часть своего импульса в соответствии с законами сохранения энергии и импульса. Энергия фотона уменьшается, соответственно уменьшается частота (W = hν), а длина волны увеличивается (λ = с/ν). На рис. 3.1 представлено рассеяние фотона монохроматического рентгеновского излучения на неподвижном электроне. Фотон с импульсом падает на неподвижный электрон. В результате взаимодействия электрон приобретает импульс . Импульс рассеянного фотона уменьшается до величины . Угол α  это угол между направлениями движения падающего и рассеянного фотона.

Длина волны рентгеновского излучения, рассеянного под углом , больше длины волны , падающего на вещество излучения, на величину  = λ, зависящую только от угла :

. (3.1)

Величина   это изменение длины волны рентгеновского излучения.

Комптоновская длина волны равна

, (3.2)

где m  масса частицы, на которой рассеивается фотон.

В случае рассеяния фотона на электроне подставляя значения массы покоя электрона в формулу (3.2), получаем для комптоновской длины волны электрона значение

= 2,43·10^12 (м).

Если рассеяние происходит на неподвижном протоне, то масса m в формуле (3.2) является массой покоя протона и  комптоновская длина волны протона, которая равна

м.

Наибольшее изменение длины волны рентгеновского излучения наблюдается при угле рассеяния 180º.

Формулу (3.1) изменения длины волны электромагнитного излучения при эффекте Комптона можно представить в виде

 = λ_k (1  cosα).

Частоты падающего и рассеянного рентгеновского излучения равны соответственно и , Р  импульс электрона, называемого после столкновения электроном отдачи. Импульс падающего на вещество фотона равен , а энергия его , импульс рассеянного фотона , а энергия равна .

Импульс релятивистского электрона равен , W_o = m_oc² энергия покоя частицы, m_o  масса покоя частицы.

Кинетическая энергия электрона отдачи равна разности энергии падающего на вещество фотона и энергии рассеянного фотона

.

Выражая частоту фотона через длину волны, можно записать

.

Заменим изменение длины волны фотона и

.

Кинетическая энергия электрона W_k максимальна при рассеянии фотона на угол  = .

Примеры решения задач

Задача 3.1. Фотон рассеивается на угол при эффекте Комптона на первоначально покоившемся свободном электроне. Энергия рассеянного фотона составляет = 0,2 МэВ. Определить изменение длины волны фотона и его энергию до рассеяния.

Дано: ; = 0,2 МэВ.

Найти: Δλ, .

Р е ш е н и е

Изменение длины волны фотона находят по формуле

,

здесь м  комптоновская длина волны электрона.

Подставляя значения, получаем

= 2,43·10^12м.

Для определения энергии фотона применим формулу Планка ε = hν.

Частоту фотона выразим через длину волны ν = с/λ, тогда

ε = hс/λ и λ = hс/ε.

Подставляя эти соотношения в формулу изменения длины волны, можно записать

, ,

где обозначена энергия покоя электрона .

Приравнивая правые части уравнений, и проводя преобразования, получаем

.

Энергия покоя электрона W₀ = 0,511 МэВ, тогда

= 0,33 МэВ.

Ответ: Δλ =2,43·10^12м,  = 0,33 МэВ.

Задача 3.2. Фотон с длиной волны 5 пм рассеивается на первоначально покоившемся свободном электроне под углом α = 60⁰. Определить энергию рассеянного фотона и кинетическую энергию электрона отдачи.

Дано: λ= 5 пм; α = 60⁰.

Найти: , W_к.

Р е ш е н и е

Запишем формулу Комптона

.

Выразив длину волны через энергию фотона λ` = hс/ε`, получим

.

Проводя преобразования, находим

;

= 3,20·10^14(Дж) =

= 3,20·10^14/(1,6·10^19) эВ = 0,20 МэВ.

Кинетическая энергия электрона отдачи в соответствии с законом сохранения энергии равна разности между энергией  падающего фотона и энергией рассеянного фотона

W_К = hс/ λ ε׳ = (0,25  0,20)·10⁶эВ = 50 кэВ.

Ответ: = 0,20 МэВ, W_К = 50 кэВ.