Тема 5. Длина волны де Бройля
В 1924 году французский физик Луи де Бройль предположил, что корпускулярно-волновой дуализм присущ не только фотону, но и микрочастицам (атомам, молекулам, элементарным частицам). Это значит, что микрочастицы имеют не только корпускулярные свойства, но и волновые свойства. С движущейся частицей можно связать длину волны де Бройля
,
(5.1)
где h постоянная Планка, в знаменателе масса и скорость частицы.
Импульс тела равен
,
тогда длину волны де Бройля можно
записать в виде
.
При большом импульсе тела длина волны де Бройля мала и не влияет на физические свойства тела. У микрочастиц (электронов и др. элементарных частиц, атомов, молекул) импульс маленький из-за малости массы частицы и длина волны достаточная для того, чтобы проявлялись волновые свойства.
Для движущихся микрочастиц наблюдаются волновые явления: интерференция и дифракция. Длину волны де Бройля при движении микрочастицы с релятивистской скоростью можно получить, если учесть зависимость массы от скорости
.
Подставляя формулу массы в выражение длины волны де Бройля (5.1), получим
.
Волновые свойства микрочастиц привели к созданию электронной оптики: электронного и ионного микроскопа, электронно-оптического преобразователя.
При
решении некоторых задач удобно импульс
Р частицы
выражать через ее кинетическую энергию
Wк.
Для релятивистского движения частицы
применяют соотношение
,
здесь Wо
– энергия покоя частицы
Wо
= m0с2,
а для движения микрочастицы со скоростью
много меньше скорости света в вакууме
.
Примеры решения задач
Задача 5.1. Рассчитать длину волны де Бройля для электрона, прошедшего ускоряющее поле с разностью потенциалов 100 В.
Дано: U = 100 В.
Найти: λ.
Р е ш е н и е
Длину волны де Бройля движущегося электрона можно определить по формуле
.
Для решения задачи необходимо сравнить кинетическую энергию электрона с его энергией покоя Wо
W0= m0 c 2= 0,51 MэВ;
Wk= eU = 100 эВ = 104 MэВ.
Кинетическая энергия электрона много меньше энергии покоя электрона Wк << Wo, поэтому для решения задачи можно использовать формулы классической механики.
В
случае, когда кинетическая энергия
частицы больше ее энергии покоя
,
необходимо учитывать зависимость массы
от скорости и пользоваться формулами
релятивистской механики.
Электрон, прошедший разность потенциалов 100 В, приобретает кинетическую энергию за счет работы электрического поля, поэтому можно записать
.
(5.2)
Из формулы (5.2) находим скорость
.
(5.3)
Подставим выражение (5.3) в формулу длины волны де Бройля
.
Проводя преобразования, получим расчетную формулу длины волны де Бройля для электрона
.
Вычисления:
=1,2·10-8м.
Ответ: λ = 1,2·10-8м.
Задача 5.2. Вычислить длину волны де Бройля для протона, движущегося со скоростью 0,6 с (с – скорость света в вакууме).
Дано:
.
Найти: λ.
Р е ш е н и е
Длина волны для протона определяется по формуле де Бройля
.
При движении частицы со скоростью близкой к скорости света необходимо учесть, что релятивистская масса зависит от скорости
.
(5.4)
Подставляя выражение (5.4) в формулу длину волны де Бройля, получаем
.
Вычисления:
м.
Ответ:
1,76·10-15
м.
Задача 5.3. Электрон движется по окружности радиусом 0,5 см в однородном магнитном поле с индукцией 0,008 Тл. Определить длину волны де Бройля электрона.
Дано: R = 0,5 см, B = 0,008 Тл.
Найти: λ.
Р е ш е н и е
Дебройлевскую длину волны микрочастицы определяют по формуле
.
Радиус круговой орбиты электрона, движущегося в магнитном поле равен
.
(5.5)
Определим скорость частицы из формулы (5.5)
и, подставляя ее в формулу длины волны де Бройля, получаем
.
Вычисления:
м.
Ответ:
= 1010м.
Задача 5.4. Найти длину волны де Бройля для атома водорода, движущегося при температуре 293 К с наиболее вероятной скоростью.
Дано:
Т = 293 К,
=
кг/м3.
Найти: λ.
Р е ш е н и е
Длину волны де Бройля можно найти по формуле
.
Наиболее вероятная скорость определяется выражением
.
(5.6)
Подставляя в формулу длины волны де Бройля выражение (5.6) и массу атома
,
получаем
.
Вычисления:
пм.
Ответ: = 180 пм.