13. Задания по теме «Неопределенный интеграл»

Задание 1. ( Табличное интегрирование, линейность)

а) ; б) , ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) .

Задание 2. (Замена переменной, интегрирование по частям)

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Задание 3.(Интегрирование рациональных функций)

Даны функции

Найти:

а) , б) , в) , г) ,

д) , е) , ж) .

Задание 4. (Интегрирование тригонометрических функций)

а) , б) ,

в) , г) ,

д) , е) ,

ж) , з) .

Задание 5. Даны и (см. задание 3).

а) , б) , в) , г) ,

д) , е) .

В заданиях 3-5 параметры и даются студенту индивидуально. Покажем выполнение задания 3.

Выполнение задания 3. Пусть

a)

Найдем дискриминант квадратного трехчлена . Значит квадратный трехчлен имеет корни , . Тогда, .

Представим подынтегральную функцию в виде суммы дробно-рациональных функций 1^го рода:

Найдем коэффициенты А и В , сложив дроби в правой части равенства и приравняв числители дробей в левой и правой частях:

.

Это равенство должно выполняться при любых . Положим , тогда имеем: и . Положим , тогда – и .

Итак,

Следовательно

б)

В этом случае дискриминант .

Квадратный трехчлен не имеет вещественных корней. Выделим полный квадрат:

Сделаем замену переменной: Тогда .

Имеем:

Возвращаясь к переменной , получаем

в)

Подынтегральная функция – неправильная дробно-рациональная функция. Делением числителя на знаменатель выделим целую часть и найдем остаток от деления:

Тогда:

г)

Так как

Выделяя целую часть неправильной дробно-рациональной функции, получим:

Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробно-рациональных функций 1-го рода:

Имеем:

Тогда:

д)

Имеем:

Следовательно

При имеем : или При имеем или

Положим, например, и :

Подставляя известные значения А и С, получим:

Следовательно ,

Итак,

е)

Решим биквадратное уравнение . Получаем , .

Разложим знаменатель подынтегральной функции на множители:

Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробно-рациональных функций 1-го рода и 2-го рода

.

Приравнивая числители левой и правой частей

,

при имеем или , при имеем или , при : подставив A и B, получим

При : подставив A, B, N получим

Итак,

ж)

Биквадратное уравнение не имеет вещественных корней и разложение многочлена на множители содержит только квадратичные множители. Найдем эти множители:

.

Найдем

Разложим подынтегральную функцию на простейшие дробно-рациональные функции 2-го рода:

Имеем:

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим:

Согласно критерию равенства двух многочленов имеем:

Решив эту систему четырех уравнений с четырьмя неравенствами, получим

Следовательно

Рассмотрим отдельно и

Аналогично,

Итак,

ЛИТЕРАТУРА

1. Бугров Я.С. Дифференциальное и интегральное исчисление./ Я.С. Бугров, С.М. Никольский.– М.: Наука, 1998.

2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1995.

3. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1. – М.: Наука, 2000.