10. Рациональные функции двух переменных

Определение. Одночленом двух переменных и называется произведение , где .

Определение. Многочленом двух переменных и называется линейная комбинация одночленов двух переменных с числами (коэффициентами).

Пример.

Многочлен двух переменных есть цело-рациональная функция двух переменных.

Определение. Рациональной функцией двух переменных и называется отношение двух многочленов тех же переменных:

где и – многочлены двух переменных.

Пример.

Теорема. Если – рациональная функция переменных и , а

и – рациональные функции одной переменной : , , то сложная функция есть рациональная функция одной переменной.

Доказательство. и – отношения многочленов одной переменной . После подстановки и в многочлены двух переменных и получим рациональные функции одной переменной

и .

Следовательно, – рациональная функция одной переменной.

11. Интегрирование некоторых иррациональных выражений

1) Неопределенный интеграл вида

Подынтегральная функция – рациональная функция двух переменных , где , – иррациональная функция одной переменной ,

Теорема. Неопределенный интеграл всегда может быть сведен к неопределенному интегралу от рациональной функции одной переменной .

Сделаем замену переменной: , то есть Отсюда находим: – рациональная функция переменной .

Найдем: .

Функция – рациональная функция переменной (предполагается, что ),

Таким образом,

.

Подынтегральная функция есть произведение двух рациональных функций одной переменной и является рациональной функцией .

Итак, .

2) Неопределенный интеграл вида

Подынтегральная функция – рациональная функция двух переменных , где , – иррациональная функция одной переменной .

Теорема. Неопределенный интеграл всегда может быть сведен к неопределенному интегралу от рациональной функции одной переменной .

Если трехчлен имеет действительные корни

то и

и интеграл сводится к случаю 1.

Поэтому будем считать, что не имеет действительных корней и . Тогда рационализация интеграла может быть достигнута с помощью подстановки Эйлера: (эту подстановку можно применять и в случае действительных корней при на интервале, где ). Отсюда , то есть – рациональная функция от . Но тогда – также рациональная функция от . Поэтому

Замечание. Если а ( ), то можно сделать замену

Пример. Вычислить

Бином не имеет действительных корней. Поэтому полагаем и

Отсюда

В силу этого

12. Неопределенный интеграл вида

Теорема. Неопределенный интеграл вида с помощью подстановки , которая называется универсальной, сводится к неопределенному интегралу от рациональной функции одной переменной .

Сделаем подстановку

,

Выразим через

Тогда где – рациональная функция от .

Пример. Вычислить

Сделаем подстановку

Несмотря на то, что универсальная подстановка дает возможность проинтегрировать всякую функцию вида , однако на практике она часто приводит к слишком сложным рациональным функциям. Поэтому наряду с универсальной подстановкой полезно знать и другие подстановки, которые в некоторых случаях быстрее приводят к цели.

1) Если интеграл имеет вид то подстановка приводит этот интеграл к виду .

2) Если интеграл имеет вид то он приводится к интегралу от рациональной функции заменой .

Пример. Вычислить

Сделаем замену , тогда :

3) Если подынтегральная функция зависит только от , то замена , приводит этот интеграл к интегралу от рациональной функции:

4) Если подынтегральная функция имеет вид то применяется та же подстановка , так как выражаются рационально через :

После подстановки мы получим интеграл от рациональной функции.

Пример. Вычислить

Сделаем замену :

5) Рассмотрим интеграл вида где и – целые числа. Здесь придется рассмотреть три случая.

а) Если и таковы, что по крайней мере одно из них нечетное, допустим для определенности, что – нечетное.

Положим и преобразим интеграл:

Сделаем замену , , получим интеграл от рациональной функции от .

Пример. Вычислить

Обозначая , , получим:

б) Если и – числа неотрицательные и четные, то положив , и применяя формулы, известные из тригонометрии

получим:

Возводя в степень и раскрывая скобки, получим члены, содержащие в нечетных и четных степенях.

Члены с нечетными степенями интегрируются, как указано в случае а) Четные показатели снова понижаем по формуле Продолжая так, дойдем до членов вида которые легко интегрируются.

Пример. Вычислить

в) Если показатели и – четные, причем хотя бы один из них отрицателен, то следует сделать замену (случай 4)

6) Рассмотрим интеграл вида

Он берется при помощи следующих формул :

Пример. Вычислить