4. Простейшие свойства неопределенного интеграла
1)
Производная от неопределенного интеграла
по переменной интегрирования равна
подынтегральной функции:
.
Доказательство.
Так как
,
где
то
.
2)
Дифференциал от неопределенного
интеграла равен подынтегральному
выражению:
Доказательство.
Найдем
,
что и требовалось доказать.
3)
Неопределенный интеграл от производной
от некоторой функции равен сумме этой
функции и произвольной постоянной:
.
Доказательство.
Пусть
.
Тогда
,
то есть
.
Таким образом, сумма дифференцируемой функции и произвольной постоянной равна неопределенному интегралу от производной от этой функции:
.
4) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
.
Доказательство.
Так как
,
то свойство 4 является фактически
непосредственным следствием свойства
3.
5. Линейность неопределенного интеграла
Теорема 1. Неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме неопределенных интегралов от слагаемых:
(1)
Доказательство.
Пусть
– некоторая первообразная для
и
– некоторая первообразная для
.
Тогда
Соответственно сложим левые и правые части этих равенств:
(2)
где
– произвольная постоянная.
Согласно свойству 3 из предыдущего параграфа
Так
как
,
то
(3)
В
силу равенств (2) и (3), получаем
Теорема
2. Постоянный
множитель можно выносить за знак
неопределенного интеграла:
, (4)
где
– постоянная.
Доказательство.
Пусть
–
первообразная для
.
Тогда
где
–
произвольная постоянная. Умножим обе
части этого равенства на
:
(5)
где
–
произвольная постоянная.
Согласно свойству 3 из предыдущего параграфа имеем:
Так
как
Следовательно,
(6)
В
силу равенств (5) и (6) получаем:
Совокупность равенств (1) и (4) называется свойством линейности неопределенного интеграла.
Пусть
и
– функции,
и
– числа. Тогда функция
называется линейной комбинацией
и
c
числами
и
.
Из теорем 1 и 2 следует, что неопределенный
интеграл от линейной комбинации данных
функций с данными числами равен линейной
комбинации неопределенных интегралов
от этих функций с теми же числами:
.
Понятие
линейной комбинации распространяется
на любое конечное число функций. Для
случая
функций
и
будем иметь:
Это
равенство можно записать в следующем
виде
6. Таблица основных неопределенных интегралов
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
, 9.
в
частности
5.
10.
–
произвольные
постоянные.
Доказательство любого из этих равенств сводится к определению неопределенного интеграла и к соответствующей формуле из таблицы производных.
Например,
при
Значит,
функция
– первообразная для
и согласно определению неопределенного
интеграла:
Приведем
доказательство формулы 3 таблицы:
Согласно определению понятия модуля имеем, что
Значит
Для
Согласно теореме о производной от сложной функции:
Таким
образом,
при
.
Значит,
–
первообразная для
На основании определения понятия неопределенного интеграла убеждаемся в справедливости формулы 3.