Министерство образования и науки Российской Федерации

Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого

Институт электронных и информационных систем

Неопределенный интеграл

Методические указания

В. Новгород

2004

Удк 517.2 Печатается по решению

РИС НовГУ

Рецензенты

Канд. ф.-м. наук, доцент Едемский В.А.

Неопределенный интеграл: Метод. указания / Авт.-сост. О.А. Одинцов, В.М. Федорова. НовГУ им. Ярослава Мудрого. – Новгород, 2004.– 40с.

Рассматриваются основные теоретические сведения, связанные с понятием неопределенного интеграла, его свойствами и методами интегрирования. Приводятся подробные вычисления интегралов на примерах. Приведены задания для самостоятельной работы.

Методические указания предназначены для студентов 1-го курса технических специальностей.

УДК 517.2

©Новгородский государственный

Университет, 2004

© Одинцов О.А,Федорова В.М.

составление 2004

ВВЕДЕНИЕ

Одной из главных тем, имеющих определяющее значение в математической подготовке инженера, является интегральное исчисление.

Методические указания по теме «Неопределенный интеграл» содержат основные теоретические сведения, связанные понятием неопределенного интеграла, его свойствами и методами интегрирования. Подробно показано применение методов интегрирования к решению задач. Приведены задания для расчетно-графической работы по изучаемой теме.

1. Понятие первообразной функции

Определение. Функция называется первообразной для функции на некотором промежутке изменения переменной , если существует производная при любых из рассматриваемого промежутка и .

Примеры.

– первообразная для функции при , так как при любых .

– первообразная для функции при , так как при любых из указанного промежутка.

2. Свойства первообразной функции

Теорема 1. Если – первообразная для функции , то , где – любое число, также первообразная для функции .

Доказательство. Так как – первообразная для функции , то . Так как , то согласно определению – первообразная для функции .

Теорема 2. Если и – первообразные для функции , то разность есть постоянная величина.

Доказательство. Согласно определению первообразной, имеем:

и из рассматриваемого промежутка.

Следовательно, . Согласно критерию постоянства функции разность при из рассматриваемого промежутка.

Из теорем 1 и 2 следует, что если для функции существует какая-нибудь первообразная , то для существует бесконечное множество первообразных отличающихся друг от друга на постоянное слагаемое.

Теорема 3. Если – первообразная для функции и – функция, у которой существует , то – первообразная для .

Доказательство. Согласно определению первообразной: . Найдем производную от сложной функции , где :

Согласно определению, сложная функция есть первообразная для функции .

3. Понятие неопределенного интеграла

Определение. Неопределенным интегралом от функции называется сумма какой-либо первообразной для этой функции и произвольной постоянной.

Из теорем 1 и 2 о первообразной функции следует, что неопределенный интеграл от функции есть множество всех первообразных для этой функции. Обозначение: , где – некоторая первообразная для , – произвольная постоянная, – означает неопределенный интеграл, называется подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования.

Примеры.

или

Первообразные отличаются на постоянное слагаемое:

Процесс отыскания неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.