9. Формула апостериорной вероятности (формула Бейеса).

Рассмотрим ситуацию.

Имеется полная группа несовместных гипотез Н₁, Н₂, …Н_n, вероятности которых Р(Н_i) (i = 1, 2, …n) известны до опыта (вероятности априори). Производится опыт (испытание), в результате которого зарегистрировано появление события А, причём известно, что этому событию наши гипотезы приписывали определённые вероятности (i = 1, 2, …n). Каковы будут вероятности этих гипотез после опыта (вероятности апостериори)?

Ответ на подобный вопрос даёт формула апостериорной вероятности (формула Бейеса):

, где i = 1, 2, …n.

Задача 20. Вероятность поражения самолёта при одиночном выстреле для 1-го ракетного расчёта (событие А) равна 0,2, а для 2-го (событие В) – 0,1. Каждое из орудий производит по одному выстрелу, причём зарегистрировано одно попадание в самолёт (событие С). Какова вероятность, что удачный выстрел принадлежит первому расчёту?

Решение.

1. До опыта возможны четыре гипотезы:

Н₁ = А  В – самолёт поражён 1-м расчётом и самолёт поражён 2-м расчётом (произведение соответствует логическому «и»),

Н₂ = А  В – самолёт поражён 1-м расчётом и самолёт не поражён 2-м расчётом,

Н₃ = А  В – самолёт не поражён 1-м расчётом и самолёт поражён 2-м расчётом,

Н₄ = А  В – самолёт не поражён 1-м расчётом и самолёт не поражён 2-м расчётом.

Эти гипотезы образуют полную группу событий.

2. Соответствующие вероятности (при независимом действии расчётов):

Р(Н₁) = 0,20,1 = 0,02; Р(Н₂) = 0,2(1 – 0,1) = 0,18; Р(Н₃) = (1 – 0,2)0,1 = 0,08; Р(Н₄) = (1 – 0,2) (1 – 0,1) = 0,72.

3. Т.к. гипотезы образуют полную группу событий, то должно выполняться равенство

.

Проверяем: Р(Н₁) + Р(Н₂) + Р(Н₃) + Р(Н₄) = 0,02 + 0,18 + 0,08 + 0,72 = 1, таким образом, рассматриваемая группа гипотез верна.

4. Условные вероятности для наблюдаемого события С при данных гипотезах будут:

, т.к. по условию задачи зарегистрировано одно попадание, а гипотеза Н₁ предполагает два попадания;

; ;

, т.к. по условию задачи зарегистрировано одно попадание, а гипотеза Н₄ предполагает отсутствие попаданий.

Следовательно, гипотезы Н₁ и Н₄ отпадают.

5. Вероятности гипотез Н₂ и Н₃ вычисляем по формуле Бейеса:

Р_С(Н₂) , Р_С(Н₃) .

Таким образом, с вероятностью приблизительно 70 % (0,7) можно утверждать, что удачный выстрел принадлежит 1-му расчёту.

40