7. Теорема сложения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность произведения этих же событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Задача 16. Производится два независимых выстрела в одну и ту же мишень. Вероятность попадания при первом выстреле 0,6, а при втором – 0,8. Найти вероятность попадания в мишень при двух выстрелах.

Решение.

1) Обозначим попадание при первом выстреле как событие А₁, при втором – как событие А₂.

Попадание в мишень предполагает хотя бы одно попадание: или только при первом выстреле, или только при втором, или и при первом, и при втором. Следовательно, в задаче требуется определить вероятность суммы двух совместных событий А₁ и А₂: Р(А₁ + А₂) = Р(А₁) + Р(А₂) – Р(А₁ А₂).

2) Т.к. события независимы, то Р(А₁ А₂) = Р(А₁)  Р(А₂).

3) Получаем: Р(А₁ + А₂) = 0,6 + 0,8 – 0,60,8 = 0,92.

Если события несовместны, то Р(АВ) = 0 и Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Задача 17. В урне находятся 2 белых, 3 красных и 5 синих одинаковых по размеру шаров. Какова вероятность, что шар, случайным образом извлечённый из урны, будет цветным (не белым)?

Решение.

1. Пусть событие А – извлечение красного шара из урны, событие В – извлечение синего шара. Тогда событие (А + В) есть извлечение цветного шара из урны.

2. Р(А) = 3/10, Р(В) = 5/10.

3. События А и В несовместны, т.к. извлекается только один шар. Тогда: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = = 0,3 + 0,5 = 0,8.

8. Формула полной вероятности.

Пусть событие А может произойти в результате проявления одного и только одного события H_i (i = 1, 2, …n) из некоторой полной группы несовместных событий Н₁, Н₂, …Н_n. События этой группы обычно называют гипотезами.

Формула полной вероятности. Вероятность события А равна сумме парных произведений вероятностей всех гипотез, образующих полную группу, на соответствующие условные вероятности данного события А:

P(A) = , где .

Задача 18. Имеется три одинаковых урны. В первой – два белых и один чёрный шар, во второй – три белых и один чёрный шар, в третьей урне – два белых и два чёрных шара. Из выбранной наугад урны выбирается один шар. Какова вероятность того, что он окажется белым?

Решение.

1) Гипотезой H_i будем считать выбор i-ой урны.

Все урны считаются одинаковыми, следовательно, вероятность выбрать i-ю урну есть

Р(Н_i) = 1/3, где i = 1, 2, 3.

2. Вероятность вынуть белый шар из первой урны: .

Вероятность вынуть белый шар из второй урны: .

Вероятность вынуть белый шар из третьей урны: .

2. Искомая вероятность: Р(А) .

Задача 19. В магазин для продажи поступает продукция трёх фабрик, относительные доли которых: I – 50 %, II – 30 %, III – 20 %. Для продукции фабрик брак соответственно составляет: I – 2 %, II – 3 %, III – 5 %. Какова вероятность того, что изделие этой продукции, случайно приобретённое в магазине, окажется доброкачественным (событие А)?

Решение.

1. Здесь возможны следующие три гипотезы: Н₁, Н₂, Н₃ – приобретённая вещь выработана соответственно на I, II, III фабриках; система этих гипотез полная.

Вероятности: Р(Н₁) = 0,5; Р(Н₂) = 0,3; Р(Н₃) = 0,2.

2. Соответствующие условные вероятности события А равны:

; ; .

3. По формуле полной вероятности имеем: .