5. Статистическое определение вероятности.

Классическое определение вероятности события предполагает, что: 1) число элементарных исходов конечно; 2) все эти исходы равновозможны.

Однако на практике встречаются испытания с бесконечным числом различных возможных исходов. Кроме того, нет общих методов, позволяющих результат испытания, даже с конечным числом исходов, представить в виде суммы или объединения равновозможных элементарных исходов.

Поэтому применение классического определения вероятности весьма ограниченно.

Мы укажем сейчас другое определение вероятности, иногда более удобное для приложений.

Рассмотрим пример. Пусть в урне 10 одинаковых по размеру шаров, из них два белых, три чёрных и пять красных. Случай­ный опыт заключается в том, что вынимается наугад один шар. При этом шар может оказаться белым или чёрным, или крас­ным. Будем в каждом опыте вытаскивать шар, фиксировать его цвет, опускать вынутый шар обратно в урну и тщательно пере­мешивать там шары. В результате каждого проведённого опыта можно вытащить шар любого из трёх возможных цветов: событие А₁ – вынут белый шар, А₂ – вынут чёрный шар, А₃ – красный шар.

Если проводить такой опыт значительное число раз (n – ве­лико), то окажется, что примерно в половине случаев вынули красный шар, в двадцати процентах случаев – белый, а в тридцати – чёрный. По мере увеличения числа проведённых опытов уверенность в соотношении шансов возможных событий, соот­ветственно 5 : 2 : 3, будет подтверждаться со всё большей точно­стью.

Частота появления каждого из возможных событий, или относительная частота события:

p = , где i= .

При числе испытаний n   относительная частота события колеблется около некоторого постоянного числа p, называемого статистической вероятностью:

P(A_i) = .

Задача 12. В результате ряда испытаний было обнаружено, что при 200 выстрелах стрелок попадает в цель в среднем 190 раз. Какова вероятность поражения цели стрелком? Сколько для него попаданий в цель можно ожидать при 1000 выстрелах?

Решение.

1) Используя статистическое определение вероятности, имеем:

P = = 0,95 = 95 .

2) Число удачных выстрелов из 1000 выстрелов примерно составляет:

 = 1000  0,95 = 950.

6. Теорема умножения вероятностей.

Вероятность события А при условии, что произошло событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается:

Р(А/В) = Р_В(А).

Вероятность каждого события А в данном испытании связана с наличием известного комплекса условий. При определении условной вероятности мы предполагаем, что в этот комплекс условий обязательно входит событие В. Таким образом, мы фактически имеем другой, более обременительный комплекс условий, соответствующий испытанию в новой обстановке. Вероятность Р_В(А) появления события А при этих новых условиях называется его условной вероятностью, в отличие от вероятности Р(А), которая может быть названа безусловной вероятностью события А.

Задача 13. В урне находятся 7 белых и 3 чёрных шара. Какова вероятность: 1) извлечения из урны белого шара (событие А); 2) извлечения из урны белого шара после удаления из неё одного шара, который является белым (событие В); 3) извлечения из урны белого шара после удаления из неё одного шара, который является чёрным (событие С)?

Решение.

1. Р(А) = = 0,7 (см. классическую вероятность).

2. Р_В(А) = = 0,(6).

3. Р_С(А) = = 0,(7).

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения (совмещения) двух событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что событие А имеет место:

Р(АВ) = Р(А)Р_А(В) = Р(В)Р_В(А).

Теорему можно распространить на произведение n событий:

P(A₁A₂…A_n) = P(A₁)P(A₂/A₁)P(A₃/A₁A₂)…P(A_n/A₁A₂…A_n-1).

Задача 14. Механизм собирается из трёх одинаковых деталей и считается неработоспособным, если все три детали вышли из строя. В сборочном цехе осталось 15 деталей, из которых 5 нестандартных (бракованных). Какова вероятность того, что собранный из взятых наугад оставшихся деталей механизм будет неработоспособным?

Решение.

1. Обозначим искомое событие через А, выбор первой нестандартной детали через А₁, второй – через А₂, третьей – через А₃.

2. Событие А произойдёт, если произойдёт и событие А₁, и событие А₂, и событие А₃, т.е.

А = А₁ А₂ А₃,

т.к логическое «и» соответствует произведению (см. раздел «Алгебра высказываний. Логические операции»).

3. События А₁, А₂, А₃ зависимы., поэтому P(A₁A₂A₃) = P(A₁)P(A₂/A₁)P(A₃/A₁A₂).

4. P(A₁) = , P(A₂/A₁) = , P(A₃/A₁A₂) = . Тогда P(A₁A₂A₃) =    0,022.

Для независимых событий: Р(АВ) = Р(А)Р(В).

Исходя из вышеуказанного, критерий независимости двух событий А и В:

Р(А) = Р_В(А) = Р_В(А),

Р(В) = Р_А(В) = Р_А(В).

Задача 15. Вероятность поражения цели первым стрелком (событие А) равна 0,9, а вероятность поражения цели вторым стрелком (событие В) равна 0,8. Какова вероятность того, что цель будет поражена хотя бы одним стрелком?

Решение.

1. Пусть С – интересующее нас событие; противоположное событие С состоит в том, что оба стрелка промахнулись.

2. С = А  В

3. Т.к. при стрельбе один стрелок не мешает другому, то события А и В независимы.

Имеем: Р(С) = Р(А)  Р(В) = [1 – Р(А)][1 – Р(В)] = (1 – 0,9)  (1 – 0,8) = 0,1  0,2 = 0,02.

4. Р(С) = 1 – Р(С ) = 1 – 0,02 = 0,98

Несколько событий называются независимыми, если независимы любые два из них, и каждое событие, и все произведения остальных.

Вероятность произведения n независимых событий:

Р(А₁ А₂…А_n) = Р(А₁)  Р(А₂)…Р(А_n).