Элементы теории вероятностей

Случайные события и их вероятности

Событие. Достоверное событие. Невозможное событие. Случайное событие.

Элементарное событие. Пространство элементарных событий (полная группа событий). Составное событие. Дополнение. Несовместные события. Равновозможные события.

Независимые события. Зависимые события. Правила действий над событиями.

Аксиомы теории вероятностей. Классическое определение вероятности. Статистическое определение вероятности. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула апостериорной вероятности (формула Бейеса).

1. Основные понятия теории вероятностей.

В теории вероятностей событием А называют всё то, что может произойти, а может и не произойти при осуществлении некоторого комплекса условий G. Событие наступает в результате реализации различных процессов, которые называют опы­тами (экспериментами).

Примеры событий:

А₁ - появление орла при бросании монеты;

А₂ - выпадение чётного числа очков при игре в кости;

А₃ - выход из строя компьютера после пяти часов работы;

А₄ - замерзание воды при сильном морозе;

А₅ - после января следует апрель.

Все эти события отличаются в первую очередь тем, что воз­можность их появления различна. Одно событие (А₄) происходит всегда, другое (А₅) никогда не наступает, остальные могут произойти или не произойти в результате проведения одного опыта.

Если при реализации условий G событие А всегда происходит, то оно называется достоверным (событие А₄). Если же событие при заданных условиях никогда не наступает, то его называют не­возможным (событие А₅).

Если в результате опыта при реализации определённого ком­плекса условий данное событие может наступить или не наступить, то оно называется случайным. Условия проведения такого опыта часто называют случайным опытом (экспериментом). Очевидно, что после бросания игральной кости чётное число может выпасть, но оно может и не выпасть. Через пять часов после включения компьютер может быть исправным, но может и выйти из строя.

Элементарными называют события, не разложи­мые на более простые.

Пусть при данных условиях проводится случайный опыт, в результате которого обязательно наступает одно и только одно из возможных элементарных событий. Множество Q всех элементарных событий w_i образует пространство элементарных событий, или полную группу событий. Например, при бросании игральной кости множество элементарных событий Q образует полную группу из шести элементарных событий w_i (выпало одно очко, выпало два очка и т. д.):

Q = {w₁=1, w₂=2, w₃=3, w₄=4, w₅=5, w₆=6}.

Наряду с элементарными рассматриваются так называемые составные, или разложимые события. Событие В называется составным, если можно указать, по меньшей мере, два таких элементарных события w₁ и w₂, что из существования каждого из них в отдельности следует существование события В. Этот факт записывается в виде:

В = {w₁, w₂}.

Используя введённую ранее терминологию, случайным событием А называют любое подмножество S пространства элементарных событий (S  Q). Содержательно это означает, что появление любого из элементарных событий, входящих в S, влечёт за собой появление события А.

Например, при бросании игральной кости составное событие А = {число очков чётное} можно записать так: А = {2, 4, 6}, подразумевая при этом, что если выпадет число 2 или 4, или 6, то наступит событие А.

Дополнение (противоположное к А) – это событие А (читается «не А»), со­стоящее в ненаступлении события А.

Пусть в урне 12 шаров, среди которых одна половина белых, а другая – чёрных. Тогда, если А – «вынуть белый шар», то А – «вынуть не белый шар».

События А₁, А₂, … А_n называются несовместными, если в результате одного опыта никакие два из них не могут произой­ти одновременно. Это означает, что среди событий А₁, А₂, … А_n нельзя найти такую пару событий А_i и А_j, в которой обна­ружилось бы хотя бы по одному общему элементарному собы­тию.

Например, при однократном бросании игральной кости выпадение чётного и нечётного числа – несовместные события. Несовместными являются также промах и попадание при од­ном выстреле по мишени.

События А₁, А₂, … А_n называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно событие встречается чаще, чем дру­гое. Например, выпадение орла или решки при бросании монеты.

События А и В называются независимыми, если появление одного из них не изменяет шансы появления другого. Например, одновременно бросаются две игральные кости. Появление на одной из них трёх очков никоим образом не зависит от того, какое количество очков появилось на верхней грани другой кости.

Если появление одного события влияет на появление друго­го, то такие события называются зависимыми.

Рассмотрим при­мер. В урне два красных и два чёрных шара. Вынимается один шар, записывается его цвет, и шар откладывается в сторону. Затем вынимается второй шар. Событие А – первый вынутый шар красный. Событие В – второй вынутый шар тоже красный. Очевидно, что эти события зависимы: если первым выну­ли красный шар, то шанс вынуть красный шар и во втором опы­те будет меньше, чем если бы первым был вы­нут чёрный шар.