2. Ортогональные центральные композиционные планы
В
ортогональных
ЦКП плечо
выбирают из условия обеспечения
независимости (несмешанности) оценок
коэффициентов регрессии. При этом одну
точку берут в центре плана – тогда общее
число точек плана
.
Для
удобства расчетов и анализа результатов
переходят к нормированному масштабу.
Для этого масштабы факторов выбирают
так, чтобы значение верхнего уровня в
ядре плана соответствовало
,
а нижнего
,
тогда для
-го
фактора
, (2.1)
где
– нормированное значение;
– натуральное значение;
– основной уровень;
– интервал варьирования.
2.1. Составление матрицы планирования эксперимента
Для нахождения условий, обеспечивающих ортогональность, квадратичную модель (1.6) удобнее записать в виде
,
где
;
.
При
этом матрица планирования (МП) эксперимента
принимает вид, приведенный в виде
табл. 2.1,
где
– фиктивная переменная, соответствующая
коэффициенту
.
В качестве ядра плана используется МП
полного или дробного плана. Отметим,
что не любые дробные планы, взятые в
качестве «ядра», позволяют обеспечить
ортогональность. Для получения
некоррелированных оценок всех
коэффициентов нужно, чтобы в матрице
планирования не было одинаковых столбцов.
Из табл. 2.1 ясно, что одинаковые
столбцы могут быть только у взаимодействий
факторов. При этом на ортогональность
столбцов взаимодействий выбор величины
не влияет. Кроме того, парные взаимодействия
должны быть несмешаны с линейными
членами. При
дробных планов, удовлетворяющих указанным
требованиям, нет. При
,
и
возможно использование планов типа
и только начиная с
можно выбрать план
с генераторами, например,
,
.
Рассмотрим,
как выбрать плечо
.
Скалярные произведения любых двух
столбцов, кроме столбцов при
,
равны нулю при любом
.
Таким образом, достаточно найти
из условия, что скалярное произведение
любых двух столбцов для
равно нулю.
.
Таблица 2.1
Ортогональный ЦКП
Номер точки |
|
|
… |
|
|
… |
|
|
… |
|
|
Ядро плана |
1 2 3 :
|
+1 +1 +1 : +1 |
+1 –1 +1 : –1 |
… … … : … |
+1 +1 +1 : –1 |
1 1 1 : 1 |
… … … : … |
1 1 1 : 1 |
+1 –1 –1 : +1 |
… … … : … |
+1 +1 +1 : +1 |
Звез- дные точки |
|
+1 |
|
… |
0 |
|
… |
|
0 |
… |
0 |
|
+1 |
|
… |
0 |
|
… |
|
0 |
… |
0 |
|
|
+1 |
0 |
… |
0 |
|
… |
|
0 |
… |
0 |
|
|
+1 |
0 |
… |
0 |
|
… |
|
0 |
… |
0 |
|
: |
: |
: |
: |
: |
: |
: |
: |
: |
: |
: |
|
|
+1 |
0 |
… |
|
|
… |
|
0 |
… |
0 |
|
|
+1 |
0 |
… |
|
|
… |
|
0 |
… |
0 |
|
Центр плана |
|
+1 |
0 |
… |
0 |
|
… |
|
0 |
… |
0 |
Откуда получаем
.
Значения
и
,
обеспечивающие ортогональность плана
при некоторых
,
приведены в табл. 2.2.
Таблица 2.2
Параметры ортогональных ЦКП
|
Ядро плана |
|
|
|
Элементы матрицы |
|||
|
|
|
|
|||||
2 |
|
9 |
1,000 |
0,6667 |
0,1111 |
0,1667 |
0,5000 |
0,2500 |
3 |
|
15 |
1,215 |
0,7300 |
0,6667 |
0,0913 |
0,2298 |
0,1250 |
4 |
|
25 |
1,414 |
0,8000 |
0,0400 |
0,0500 |
0,1250 |
0,0625 |
5 |
|
27 |
1,547 |
0,7700 |
0,0371 |
0,0481 |
0,0871 |
0,0625 |
6 |
|
45 |
1,722 |
0,8430 |
0,0222 |
0,0264 |
0,0564 |
0,0313 |
7 |
|
79 |
1,885 |
0,9000 |
0,0127 |
0,0141 |
0,0389 |
0,0156 |
8 |
|
81 |
2,001 |
0,8889 |
0,0123 |
0,0139 |
0,0312 |
0,0156 |
