2.4.Расчет параметров для линейной трендовой модели
Линейная трендовая модель имеет вид:
,
Где t – порядковый номер периодов или моментов времени.
Параметры а0 и а1 прямой рассчитываются по методу наименьших квадратов (МНК). Система нормальных уравнений в данном случае имеет вид:
.
Поиск параметров уравнения можно упростить, если отсчет времени производить так, чтобы сумма показателей времени изучаемого ряда динамики была равна нулю
При нечетном числе уровней ряда динамики, уровень, находящийся в середине ряда временного ряда, принимается за условное начало отсчета времени (этому периоду или моменту времени придается нулевое значение). Даты времени, стоящие выше этого уровня, обозначаются натуральными числами со знаком минус (-1, -2, -3 и так далее), а также – натуральными числами со знаком плюс (+1, +2, +3 и так далее).
Если число уровней динамического ряда четное, периоды времени верхней половины ряда (до середины) нумеруются –1, - 3, -5 и так далее.
Тогда система нормальных уравнений преобразуется следующим образом:
,
откуда
Правильность расчета параметров уравнения тренда может быть проверена следующим образом: сумма значений эмпирического ряда должна совпадать с суммой вычисленных уровней трендовой модели:
.
Современные компьютерные программы по анализу временных рядов позволяют автоматически определять тип модели, адекватной исходным данным, на основе соответствующей категории.
Пример
Найдём параметры уравнения линейной модели тренда для нашего примера:
t |
Y |
t |
t2 |
t·y |
|
1 |
6,15 |
-9 |
81 |
-55,35 |
6,76 |
2 |
7,95 |
-7 |
49 |
-55,65 |
7,25 |
3 |
9,43 |
-5 |
25 |
-47,15 |
7,74 |
4 |
8,16 |
-3 |
9 |
-24,48 |
8,23 |
5 |
7,24 |
-1 |
1 |
-7,24 |
8,72 |
6 |
8,51 |
1 |
1 |
8,51 |
9,21 |
7 |
9,12 |
3 |
9 |
27,36 |
9,70 |
8 |
9,67 |
5 |
25 |
48,35 |
10,19 |
9 |
11,98 |
7 |
49 |
83,86 |
10,68 |
10 |
11,41 |
9 |
81 |
102,69 |
11,17 |
Итого |
89,62 |
0 |
330 |
80,9 |
89,62 |
,
а также видим, что
Построим тренд: строим график уровней ряда и пользуемся функцией «Добавить линию тренда».
3. Выявление структуры временного ряда
При наличии во временном ряде тенденции и периодической компоненты значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда называется автокорреляцией уровней ряда.
Количественной характеристикой автокорреляции может выступать коэффициент корреляции между уровнями исходного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Количество шагов определяют порядок коэффициента автокорреляции.
Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом.
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядка называется автокорреляционной функцией временного ряда.
График зависимости значений автокорреляционной функции от величины лага называется коррелограммой (обычно представляется в виде линейчатой диаграммы).