Раздел кинематика
I. Кинематика точки
Задание К.1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения
По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t=t1 (c) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.
x(t)=
2sin(
);
y(t)= -3cos(
)+4;
t1
=
1c
y1,
v1,
|
Решение: Выразим x через t, для того, чтобы записать уравнение траектории: x=
2sin(
)
;
arcsin(
)
=
y= -3cos( )+4 y= -3cos(arcsin( ))+4 cos(arcsin(
))=
y1= -3 +4=4-1,5=2,5 (см) – положение точки на траектории через t1 = 1c. Скорость точки будет равно первой производной по времени: vx
= (2sin(
))'
=
vy=
(-3cos(
)+4)'=
3 sin (
);
v1y=
2.72
v1= v1= |
||||||||||||||||||
t1 = 1c x(t)= 2sin( ) y(t)= -3cos( )+4 y1 = 1.4 см v1 = 2.914
= 0.85
= 3.61 см |
|||||||||||||||||||
мени t1 = 1c. Ускорение будет равно производной от скорости:
wx=(
2 cos(
))'=
w=
Нахождение радиуса кривизны траектории:
Заключение: в результате расчета были определены: положение точки на траектории (y1 = 2.5 см), вид траектории, скорость точки (v1 = 2.914 ), ускорения ( = 2.506 , = 0.85 , 2.35 ) и радиус кривизны траектории ( = 3.61 см).
II. Кинематика твердого тела Поступательное и вращательное движения твердого тела Задание К.2. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях Движение груза 1 должно описываться уравнением: x=c2t2+c1t+c0, где t – время; c2,c1 ,c0- некоторые постоянные. В начальный момент времени (t=0) положение груза определяется координатой x0, и он имеет скорость v0. Учесть, что в момент времени t= t2 координата груза равна x2. Определить коэффициенты c2,c1 ,c0, при которых осуществляется требуемое движение груза 1. Определить также в момент времени t= t1 скорость и ускорения груза и точки М одного из колес механизма. Чертеж механизма в приложении Кинематика (К2, рис.2 и рис.3). R2=80см, R3= 45 см, r3=30 см, x0= 3 см, v0=15 , x2= 102 см, t2=3с, t1=2с.
РАЗДЕЛ СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА I. Плоская система сил Задание С.1. Определение реакций опор твердого тела На схемах (Приложение Статика, С.1.) показаны три способа закрепления бруса, ось которого – ломанная линия. Задаваемая нагрузка и размеры во всех трех случаях одинаковы. Определить реакции опор для того способа закрепления бруса, при котором реакция имеет наименьший модуль. P=10 кН, М=4 кН*м, исследуемая реакция ХВ.
Заключение: в результате расчета была определена схема с самой наименьшей реакцией – это схема б и в. Также были определены модули этих реакций и модули остальных реакций возникающих в опорах.
|
|
||||||||||||||||||
,
,
- ?
=
sin(
)
t
=
Подставим данное значение в y(t):
y=
-3
+4
– вид траектории в приложении к
разделу Кинематика (К1, рис.1)
2 cos(
);
v1x=
2 cos(
)=
1.047
=
2.914 –скорость точки в момент вре
=
2.506
2.35
(-sin(
));
w1x=-1.895
;
wy=(
3 sin (
))'=
(cos(
));
w1y=1.643
=
2.506
;
=
=
=
0.85
=
=
2.35
=
=3,61
см
,
-
линейная скорость малого колеса
и большого колеса R2
=
=
= 26
– скорость точки М.
=
0,325
– угловая скорость точки М.
,
т.к
=
=
= 8
=
– вращательное ускорение точки М.
*R
= 80*(0.325)^2= 8.45
– центростремительное ускорение
точки М.
=
=
11,63
– полное ускорение точки М.( В
приложении раздела Кинематика, К2,
рис.3 указаны направления скоростей
и ускорений).
= 2
.
Определить для заданного положения
механизма:
=
125
;
a=19см,
b=19см,
c=10см,
d=22см,
=12см, O2D=19см,
AB=55см,
BC=19см,
CD=23см,
DE=38см,
EF=22см
AB,
CD,…
,-? wA,
wB,
AB
- ?
=
20.4/55=0.37
;
CD
=
=
9.6/23=0.417
;
=
13.2/19=0.649
;
EF
=
=
24/66=0.363
;
=0.363*58=21.05
;
vC=
АB*
=0.363*55=19.96
;
=
19.96/65=0.307
;
vD=
CD*
=0.307*50=15.36
;
=
15.36/19=0.807
;
vE=
DE*
EF
=
A=
*
=
4*12= 48
;
B=
A+
+
;
=55*(0,363)^2=7.24
=
=
31,2/55= 0,567
*
=(48*68)/88=
37.09
AB=0.37
,
CD=0.417
,
DE=0.649
,
EF=
)
и мгновенного центра скоростей
(vA=
24
,
vB=21.05
,
vC=19.96
,
vD=15.36
,
vE
;
АB=0.363
,
CD=0.307
,
DE=0.807
,
EF
=
). Определены ускорения точек А и В
(
A=
48
,
B=36
)
и угловое ускорение стержня АВ
(
=0,567
).
Найдено расположение мгновенного
центра ускорений звена АВ. Определено
ускорение точки М(wM=37.09
).
= 0
*2-10*
*1)/1=12.66
кН – момент определен как произведение
модуля силы на плечо этой силы.
= 0
= 0
-P1*sin(60
)+P2*sin(60
)=0;
RA=0Задание С.2. Определение реакций опор и сил в стрежнях плоской фермы
Определить реакции опор фермы на заданную нагрузку, а также силы во всех ее стрежнях способом вырезания узлов. Определить силы в трех стрежнях опоры от той же нагрузки способом Риттера.
P1=2
кН, P2=4
кН, P3=2
кН, h=2м,
=60
,
Номера стержней: 4, 5, 10.
RA, RB, S1, S2, S3 … - ? |
Решение: 1. Определим реакции опор (рис. 8 а)):
-RА*4h-P1*tg(60 )*h- P2*tg(60 )*2h- P3*h=0 RA= (-P1*tg(60 )*h- P2*tg(60 )*2h- P3*h)/4h=(-2* *2-4* *2*2-2*2)/8= -4.83 кН – момент определен как произведение модуля силы на плечо этой силы. = 0 P3+ RBX +RA=0 RBX= -P3 -RA; RBX=2.83 кН = 0 RBY - P1- P2=0 RBY= P1+ P2; RBY= 6 кН RB
=
2. Определим силы в стержнях способом вырезания узлов (рис. 8 а)): Узел А: = 0 RA + S2А*cos(30 )=0 S2А = S2 = -RA/ cos(30 )= 4.83/cos(30 ) = =5.58 кН = 0 -S2А*sin(30 ) – S1А =0 S1А= - S2А*sin(30 )= S1= - 2.79 кН Узел E: = 0 ; S3E=0 S3=0 = 0 S1E -S4E=0 S4E= S1= S4= -2.79 кН Узел B: = 0 RBX + S13B*sin(30 )=0 S13= - RBX/ sin(30 )= - 3.27 кН = 0 RBY +S12B + S13B*sin(30 )=0 S12 = -RBY - S13B*sin(30 )= - 6 +3.27* sin(30 ) = -4.36кН Узел H: = 0 ; S11H= S11=0 = 0; S8H - S12H =0 S8H = S12H = S8=-4.36кН Узел D: = 0 S6D*cos(30 ) - S2D*cos(30 ) - S3D – S5D*cos(30 ) =0 S6D*cos(30 )- S5D*cos(30 ) = S2D*cos(30 )= 4.83 кН – т.к. S3D=0
|
P1=2 кН P2=4 кН P3=2 кН h=2м =60 |
= 0
=
6.33 кНS6D=4.83/ cos(30 )+ S5D= 5.58 + S5D
= 0
- P1 +S2D*sin(30 ) - S5D*sin(30 ) – S6D*sin(30 )=0
- P1 +S2D*sin(30 ) - S5D*sin(30 ) – 5.58*sin(30 ) – S5D*sin(30 )= 0
S5= (- P1 +S2D*sin(30 )– 5.58)/ sin(30 )=(-2+5.58* sin(30 )– 5.58*sin(30 )) /2sin(30 ) =
= -2кН ; S6=5.58-4=1.58 кН
Узел F:
= 0
S7F + S5F*cos(30 ) + S9F*cos(30 ) =0 S7= -S5F*cos(30 ) - S9F*cos(30 )= 0.75 кН
= 0
S4F – S8F - S9F*sin(30 )+ S5F*sin(30 ) =0 S9= (S4F – S8F+ S5F*sin(30 ))/ sin(30 )=(-(2.79 +4.36 -2* sin(30 ))/ sin(30 )= 12.3 кН
Узел C:
= 0
-S7C – S6C*cos(30 ) – S10C*cos(30 ) =0 S10= (-S7C – S6C*cos(30 ))/ cos(30 ) = (-0.75-1.58*cos(30 )/ cos(30 ) = -4.45 кН
= 0
-P2+ S6C*sin(30 )- S10C*sin(30 ) = 0 -4+3.58*sin(30 ) +4.45*sin(30 )=0
Узел G:
= 0
P3+ S10G*cos(30 ) - S9G*cos(30 ) – S11G – S13G*cos(30 ) = 0
2- 4.45*cos(30 )-1.4*cos(30 )+3.27*cos(30 )=0
= 0
S10G*sin(30 ) + S9G*sin(30 ) – S13G = 0 ; -4.45*sin(30 )+1.14*sin(30 )+3.27=0
3. Определение сил в стержнях способом Риттера (рис.8 б) и в)):
Составим уравнение моментов относительно точки D:
= 0 ;
-S4*a+RA*h=0
; a=h*tg(60
)
S4=
RA/tg(60
)=
-2.79 кН
Чтобы исключить S4 и S6 из уравнения, составим уравнение моментов относительно точки А (рис.8 б)):
= 0 ; -S5*b+P1*a=0 ; b=a=h*tg(60 ) S5= -P1 = -2 кН
Составим уравнение моментов относительно точки F (рис.8 в)):
= 0
-S10*2a*sin(30 ) - P1*a – P2*2a =0 ; a=h*tg(60 ) S10= (- P1*a – P2*2a)/ 2a*sin(30 ) = -4.45 кН
Заключение: в результате расчета были определены реакции опор (RA =-4.83 кН и RB =6.63 кН) и силы во всех стрежнях методом вырезания узлов, и силы в указанных стержнях способом Риттера.
-
Номер стержня
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Знак силы
-
+
-
-
+
+
-
+
-
-
-
Сила, кН
2,8
5,58
0
2,79
2
3,58
0,75
4,36
1,14
4,5
0
4
3,3
Задание C.3. Определение реакций опор составной конструкции
(система двух тел)
Конструкция состоит из двух частей. Установить, при каком способе соединения частей конструкции модуль реакции наименьший, и для этого варианта соединения определить реакции опор, а также соединения С.
P1=9
кН, М=16 кН*м, q=1.6
кН/м, RА-исследуемая
реакция
=30
RA - ? |
Решение: 1. Определим реакцию опоры при шарнирном соединении (рис. 9 а)): Составим уравнение равновесия:
- P1* cos(60 )*5+P1* cos(30 )*1+ RB*2 - М=0 RB = (P1*2.5- P1*0.866+M)/2=(9*2.5-9*0.866+16)/2=15.35 кН
Уравнения равновесия для всей конструкции: = XА+ P1* cos(30 )=0 XА= - P1* cos(30 )= - 7.79 кН = YA-Q+ RB- P1* cos(60 )=0; Q=q*3=4.8 кН YA= Q + P1/2 - RB=4.8 + 4.5 - 15.35= -6.05 кН RA
= = 0 -MA – Q*1.5 - M + RB*5 - P1* cos(60 )*8 - P1* cos(30 )*2 = 0 MA= RB*5– Q*1.5- M- P1*4- P1* cos(30 )*2=15.35*5-4.8*1.5-16-9*4-9*0.866=1.97 кН*м
2. Определим реакцию опоры при соединении с помощью скользящей заделки (рис. 9 б)): Составим уравнение равновесия: = XC+ P1* cos(30 )=0 XC= - P1* cos(30 )= - 7.79 кН = RB- P1* cos(60 )=0 RB = P1/2=4.5 кН = 0 MC – M + RB*2 + P1* cos(30 )*1 - P1* cos(60 )*5=0 MC=( M - RB*2 - P1* cos(30 )*1 + P1* cos(60 )*5)=16-2*4.5-9*0.866+9*2.5 = 21.7 кН*м Уравнения равновесия для всей конструкции: = XА+ P1* cos(30 )=0 XА= - P1* cos(30 )= - 7.79 кН = YA-Q+ RB- P1* cos(60 )=0; Q=q*3=4.8 кН YA= Q + P1/2 - RB=4.8 + 4.5 - 4.5 = 4.8 кН RA = = 9.15 кН
|
P1=9 кН М=16 кН*м q=1.6 кН/м =30 |
= 0
= XC+
P1*
cos(30
)=0
XC=
- P1*
cos(30
)=
- 7.79 кН
= YC+
RB-
P1*
cos(60
)=0
YC=
P1/2-
RB=4.5-15.35=
-10.85 кН
=
9.86 кН
= 0
-MA – Q*1.5 - M + RB*5 - P1* cos(60 )*8 - P1* cos(30 )*2 = 0
MA= RB*5– Q*1.5- M- P1*4- P1* cos(30 )*2= -4.8*1.5 – 16 + 4.5*5 – 9*0.5*8 – 9*0.866*2= - 52.27 кН*м
Заключение: в результате расчета было определено, что с помощью скользящей заделки реакция опоры у точка А будет меньше, чем при шарнирном соединении (9.15 кН < 9.86 кН)