Задача № 2 Определение напряжений и перемещений в стержне при растяжении-сжатии с учетом собственного веса

Рис.4 Стержень

Дано: l₁ = 4м, α=1,1, F₂=40кН, F₃=30кН, β=0,6, А1=1,2 м²,γ=30 кН/м²,Е=0,9 Мпа, к₂=1,2, к₁= 0,8,к₃=0,4.

Вычислим собственный вес участков стержня.

G₁=γ∙A₁∙L₁=30∙1,2∙4=144 кН

G₂=γ∙A₂∙L₂=30∙1,32∙3,2=126,72 кН

G₃=γ∙A₃∙L₃=30∙0,72∙4,8=103,68 кН

Найдем продольные силы на каждом участке стержня.

1 Участок.

0≤х₁≤4

N1|_x1=0 = 0

N1|_x1=4 = -G₁=-144кН

2 Участок

0≤х₂≤3,2

N2|_x2=0 =- G₁-F₂=-144-40=-184 кН

N2|_x2=3,2 =-184- G₂=-184-126,72=-310,72 кН

3 Участок

0≤х₃≤4,8

N3|_x3=0 =- 310,72+F₃= - 310,72+30=-280,72 кН

N3|_x3=4,8 =-280,72- G₃=-280,72-103,68=384,4 кН

Рис.5 Эпюра распределения продольной силы по длине стержня

Определим напряжения на каждом участке стержня.

1. σ1|_x1=0 = N₁/A₁=0

σ1|_x1=4 = -144∙10³/1,2∙10⁶ =-0,12 МПа

2. σ2|_x2=0 = -184∙10³/1,32∙10⁶=-0,139 МПа

σ2|_x2=3,2 = -310,72∙10³/1,32∙10⁶=-0,235 МПа

3. σ3|_x3=0 = -280,72∙10³/0,72∙10⁶=-0,389 МПа

σ3|_x3=4,8 = -384,4∙10³/0,72∙10⁶=-0,534 МПа

Рис.6 Эпюра распределения напряжений по длине стержня

Найдем вертикальное перемещение заданного сечения а-а.

Рис.7 Стержень с заданным сечением а-а

∆l=∆l3+∆la

Ответ: ∆l=-2,818 мм,

Задача № 3 Определение грузоподъемности статически определимой конструкции, работающей на растяжение-сжатие

Рис. 8 Заданная система стержней

Дано: а = 3м, сечение стержня Уг.160х10, b=1,4м, l=5м, β=60 град., γ=45 град.

Найти продольные силы в стержнях конструкции, используя метод сечения. Рассмотрим систему реакций и сил относительно абсолютно жесткого стержня.

Рис. 9 Стержень АD

Вычислим значение DB: DB²= AB²-AD², DB=4м.

Найдем напряжение в стержне АВ, выразив через неизвестную нагрузку.

В соответствии с ГОСТ 8509-93 найдем площадь поперечного сечения стержня (сечение стержня Уг.160х10). S=31,43 см²=31,43∙10⁴ мм².

Из условия прочности стержня найдем допускаемое значение нагрузки.

Рис. 10 Деформация стержня ВА под действием нагрузки

Стержень DA под действием нагрузки повернется вокруг шарнира, а стержень АВ опустится вниз и уменьшится на величину ∆l.

Найдем величину деформации стержня АВ по закону Гука:

Найдем перемещение точки С – СС_1.

АА1=AP/cos36,833=40∙10^-4/0,8=0,005 м

Из подобия треугольников DCC₁ и DAA₁ имеем:

Ответ: перемещение точки СС₁ = 0,0026 м.

Задача № 5 Расчет статически неопределимой стержневой конструкции, работающей на растяжение-сжатие.

Рис.11 Заданная стержневая конструкция

Дано: А₁=7 см², ∆i=-0,3 мм, i=1, схема №6, А₁/А₂=1,8, а=3,2 м, l₁=3,6м, l₂=3,5м, b=3м, α=60^о, материал-дюралюминий.

Рис.12 План сил в недеформируемом состоянии

Составим уравнения статики:

Составим план перемещений, соответствующий плану сил.

Рис.13 План перемещений при деформации стержней О₁В и СО₃

Из-за малости перемещений будем полагать, что точки В, N и С перемещаются соответственно в точки В₁, N₁ и С₁, при этом ВВ₁= NN₁=δ₁.

-

Найдем напряжения в стержнях.