4.Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Свойства.

Матожидание СВ. Пусть (, А, Р) – (конечное) вероятностное пространство и = () – случайная величина, принимающая значения в множестве Х = {x₁, …, x_m}. Пусть, далее, ее распределение задано таблицей

	x1	х2	…	xm
р	р1	p2	…	pm

О п р е д е л е н и е. Математическим ожиданием, или средним значением случайной величины  называется число М = x_i p_i.

Основные свойства математического ожидания следующие (а и b – константы).

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(с) = с.

2. М(a + b) = aМ + bМ (линейность).

3. Если  и  независимы, то М = ММ.

4. Если   0, то М  0 (неотрицательность).

5. Если   , то М  М (монотонность).

6. М M неравенство Коши-Буневковского

Приведем без доказательства еще один факт. Пусть f(x) – произвольная числовая функция, определенная на множестве действительных чисел. Тогда

Мf() = f(x_i) p_i. (5.3)

Например, если f(x) = x², то Мf() = М(x²) = x₁² + x₂²+…+ x_m².

Дисперсия СВ.

Одно математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину. В качестве характеристики разброса значений случайной величины вокруг ее среднего значения рассматривается дисперсия случайной величины. Итак, дисперсия случайной величины характеризует степень разброса ее значений относительно математического ожидания.

Определение. Дисперсией случайной величины  называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания, т. е. число D = M( - M)².

Дисперсия всегда неотрицательна как среднее значение квадрата. Используя свойства математического ожидания, имеем: D = M( - M)² = M(² – 2M + (M)²) = M(²) – (M)², т. е. D = M(²) – (M)² (5.4)

О п р е д е л е н и е. Величина _ = называется среднеквадратическим или стандартным отклонением случайной величины . Среднеквадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и сама случайная величина, тогда как дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Приведем некоторые основные свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: Dс = 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии: D(c) = с² D.

3. Добавление к случайной величине постоянной нетменяет ее дисперсии: D(c+) = D.

4. Дисперсия суммы или разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(  ) = D + D.

Пусть, известно распределение  некоторого актива (например, акции), т. е. известны значения доходности x_i и их вероятности p_i за рассматриваемый промежуток времени. Тогда математическое ожидание М выражает среднюю (прогнозную) доходность актива, а дисперсия D (или среднеквадратическое отклонение _) – меру отклонения, колеблемости доходности относительно ожидаемого среднего значения, т. е. риск актива.

Величина  - случайная, а ее числовые характеристики М и D - неслучайные, постоянные. В теории вероятностей числовые характеристики случайных величин играют большую роль: часто удается, решая вероятностные задачи, обходиться только числовыми характеристиками случайных величин, без использования законов их распределения.