3.Случайные величины. Закон распределения и функция распределения случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины.
О п р е д е л е н и е. Пусть = {1, 2, …, n} – (конечное) пространство элементарных событий. Числовая функция = (), определенная на , называется (простой) случайной величиной. Наиболее полным, исчерпывающим описанием случайной величины является ее закон распределения.
О п р е д е л е н и е. Законом распределения случайной величины называется любое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Про случайную величину говорят, что она «распределена» по данному закону или «подчинена» данному закону распределения. В общем случае, т. к. функция определена на конечном множестве, то множество ее значений есть конечное множество Х = {x1, x2, …, xm}, m n (последнее неравенство учитывает то обстоятельство, что некоторые из значений могут приниматься функцией при разных значениях аргумента – элементарного события ). Рассмотрим событие Ai = {: () = xi}, или (более кратко) Ai = { = xi}, обозначим его вероятность Р(Ai) = рi. Соответствие между xi и рi при всех I = 1,2,…,m есть закон распределения вероятностей случайной величины . Это соответствие можно наглядно выписать в виде таблицы
|
x1 |
х2 |
… |
xm |
р |
р1 |
p2 |
… |
pm |
которая называется рядом распределения случайной величины . Очевидно, что всегда
р1 + р2 +…+ рm = 1
О п р е д е л е н и е. Пусть - случайная величина и х – произвольное действительное число. Вероятность того, что примет значение, не превосходящее х, называется функцией распределения случайной величины (обозначается F(x)): F(x) = P{ x}.
Функцию F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка попадет не правее точки х.
Дискретные и непрерывные случайные величины и их числовые характеристики
О п р е д е л е н и е. Дискретной называется случайная величина, множество значений которой конечно или счетно. Заметим, что простая случайная величина - частный случай дискретной (множество ее значений конечно). Ряд распределения дискретной случайной величины есть таблица (заметим, что, в отличие от ряда распределения простой случайной величины, она может иметь бесконечное множество колонок)
|
x1 |
х2 |
… |
р |
р1 |
p2 |
… |
Функция
распределения дискретной случайной
величины есть F(x)
= P{
x}
=
,
где суммируются вероятности тех значений
xi,
которые не превосходят х.
Кроме дискретных, существуют т. н. непрерывные случайные величины, множество значений которых – (конечный или бесконечный) числовой промежуток.
О
п р е д е л е н и е. Непрерывной
называется случайная величина ,
для которой при любых действительных
a
< b
выполнено равенство Р{a
b}
=
,
где р(х)
– некоторая неотрицательная интегрируемая
функция, такая что
=1,
называемая плотностью
вероятности
случайной величины .
Если
- непрерывная случайная величина, то ее
функция распределения F(x)
=
,
и наоборот, плотность вероятности р(х)
= F(x).
В связи с этим заметим, что Р{a
b}
= F(b)
– F(a).
Таким образом,
непрерывная случайная величина может
задаваться плотностью вероятности или
функцией распределения.