11. Различные уравнения прямой в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в пространстве и угол между ними.

Способы задания прямой  Векторно-параметрическое уравнение прямой 

где   - фиксированная точка, лежащая на прямой;   - направляющий вектор.

В координатах (параметрические уравнения):

Канонические уравнения прямой 

Уравнения прямой по двум точкам 

Прямая как линия пересечения двух плоскостей 

при условии, что не имеют места равенства

Взаимное расположение двух прямых 

Если прямые заданы уравнениями   и   то они:

     1) параллельны (но не совпадают) 

     2) совпадают 

     3) пересекаются

     4) скрещиваются

Угол между прямыми. Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами   и  . Так как  , то по формуле для косинуса угла между векторами получим

.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов   и  : Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е. l₁ параллельна l₂ тогда и только тогда, когда   параллелен  .

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю:  .

12. Различные уравнения плоскости в пространстве

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz и задана плоскость. Плоскость, как и любая другая геометрическая фигура, состоит из точек. В прямоугольной системе координат Oxyz каждой точке соответствует упорядоченная тройка чисел – координаты точки. Между координатами каждой точки плоскости можно установить зависимость с помощью уравнения, которое называют уравнением плоскости. Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве – это уравнение с тремя переменными x, y и z, которому удовлетворяют координаты любой точки заданной плоскости и не удовлетворяют координаты точек, лежащих вне данной плоскости. Таким образом, уравнение плоскости обращается в тождество при подстановке в него координат любой точки плоскости. Если в уравнение плоскости подставить координаты точки, не лежащей в этой плоскости, то оно обратится в неверное равенство.

Общее уравнение плоскости.

Теорема. Всякое уравнение вида  , где A, B, C и D – некоторые действительные числа, причем А, В и C одновременно не равны нулю, определяет плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, и всякая плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве может быть задана уравнением вида  . Уравнение   называется общим уравнением плоскости в пространстве. Если не придавать числам А, В, С и D конкретных значений, то общее уравнение плоскости называют уравнением плоскости в общем виде.

Следует заметить, что уравнение вида  , где   - некоторое действительное число, отличное от нуля, будет определять ту же самую плоскость, так как равенства   и   эквивалентны.

Неполными уравнениями задаются плоскости, параллельные координатным осям, проходящие через координатные оси, параллельные координатным плоскостям, перпендикулярные координатным плоскостям, совпадающие с координатными плоскостями, а также плоскости, проходящие через начало координат.