35. Итер методы реш сист лин алг ур. Метод Зейделя. Оц погр. Геом интепрет.

Опис м. Метод Зейделя можно рассм как модифик метода Якоби. Осн идея м сост в том. что при вычисл (к+1)-го приближ к неизв xi при i>1 исп уже найденные (к+1)-е приближ к неизв х₁, х₂..х_i-1 а не к-е, как в методе Якоби. xm^(k+1)=bm1x1^(k+1)+..+b(m,m-1)x(m-1)^(k+1)+cm. Введём верхн и нижн треуг матр B1=[0,0..0,0; b21,0..0,0;..;bm1,bm2,..0]; B2=[0,b12,..b1m; 0,0..b2m; .. 0,0,..0,0]. Тогда расч ф-ла примет вид: X^(k+1)=B1X^(k+1)+В2Х^(k)+С.Матр B=B1+B2 и поэтому реш X сист удовл «=»: Х=В1+В2Х+С.

Если треб найти реш с точн ε>0. то итерации следует вести до выполн усл: ||Х⁽ⁿ⁾-Х^(n-1)||*||В₂||/(1-||B||)<ε; ||X(n)-X(n-1)||<ε2; ε2=(1-||B||)*ε/||B2||

a11x1+a12x2=b1; a21x1+a22x2=b2. Расч ф-ла: x1^(k+1)=b12x2^(k)+c1; x2^(k+1)=b21x2^(k)+c2. b12=-a12/a11; c1=b1/a11; b21=-a21/a22; c2=b2/a22.

Геом интерпрет:

36.Методы отыск реш сист нелин ур. Пост задачи. Корректность и обусл решения.

Пусть треб реш сист ур, кот представ в виде: f₁(x₁..x_m)=0; f₂(x₁..x_m)=0; .. f_m(x₁..x_m)=0, где f₁..f_m  нелин вещ-ые ф-ии m вещ-ых перем x₁..x_m. Примен обознач х=[x1..xm], F(x)=[f1..fm], 0=[0..0], сист можно записать ур-ем в вект форме F(x)=0, где F  вект фия вект аргум x. Будем считать фии f_i(х) непрер дифф в окр реш х. Тогда матр Якоби для соотв сист имеет вид: F(х)=[∂f1(x)/∂x1.. ∂f1(x)/∂xm; ..; ∂fm(x)/∂x1.. ∂fm(x)/∂xm]

Чтоб найти реш нуно исп итер мет для получ приближ вект реш х^*=(x₁^*, x₂^*..x_m^*)^Т, удовл при заданном знач точности >0 нерав ||х^*-х||<. В общ случ сложно выяснить, имеет ли система решения и сколько их. Этапы реш: 1)локализации реш. Для каждого из иск реш указ некот множ вект, кот содержит только одно это реш. 2)Итерац уточнение реш. Для получ реш с задан точн  исп один из итерац мет реш нелин сист.

Корректн и обусл: в случае поиска корня нелин ур f(х)=0 погр вычисл фии f(х) приводит к образ вокруг корня инт неопред. Погр в вычисл вект-фии F приводит к появл обл неопред D, содерж реш сист, такой, что для всех хD вект ур F(х)=0 удовл с точн до погр ε.

Радиус неопред  можно приближ оценить с помощью неравенства ||(F( ))^-1||(F^*).

Анализируя эту ф-лу, можно сделать вывод, что в рассм задаче роль абс числа обусл играет норма матр, обр матр Якоби _=||(F( ))^-1||.

37.Мет отыск реш сист нелин ур. Метод прост итер.

Предпол, что треб найти вектор-реш х=(x₁,x₂..x_m)^Т для сист с задан точн >0. Преобраз сист к виду: х₁=₁(х_1,..х_m), х₂=₂(х_1,..х_m), .. х_m=_m(х_1,..х_m). Можно ввести в рассм вектор-фию =(₁, ₂,…, _m,)^Т. х=Ф(х). нач приближ х⁽⁰⁾=(х₁⁽⁰⁾,..х_m⁽⁰⁾)^Т задано, тогда для этой задачи можно запис форм-ое рекуррентное «=»: х^(k+1)=Ф(х^(k)), k0, кот опред последов вычисл-ия приближений методом простых итераций.

Можно исп след практ критерий оконч итерац проц ||х^(k)-х^(k-1)||₁, где ₁= .