4.Учет погрешностей при вычислении выражений

«+» и «-»: если с=а+б с*=а*+б*; с=а-б с*=а*-б* то Δ(с*)≤Δ(а*)+Δ(б*) и следовательно Δ(с*)=Δ(а*)+ Δ(б*) т.е при + и – предел абс погр складываются. Это правило распростр на алгебр + любого конечного числа приближ чисел.

«*»:пустьU=a*b,U*=a*·b* в этом случ Δ(U*)=|U-U*| тогда абсол погр удовл неравенству: Δ(U*)≤|b*|Δ(а*)+Δ(b*)Δ(а*)+|a*|Δ(b*)

«/»: пусть V=a/b, V*=a*/b* при условии, что |b*|˃Δ(b*) и b≠0 получаем абсол погр Δ(V*)≤(|b*Δ(a*)+|a*|Δ(b*))/((1-δ(b*))|b*|^2) т.к |b*|-Δ(b*)=(1-δ(b*))|b*|>0

Пусть а*≠0, |b*|>Δ(b*) и разделив абс погр на произведение и отношения для «*» и «/» соотв, получаем относ погр: δ(U*)≤δ(a*)+δ(b*)+δ(a*)δ(b*) и δ(V*)≤(δ(a*)+δ(b*))/(1-δ(b*))

Пред абс и пред относ погр: Δ(U*)≈|b*|Δ(a*)+|a*|Δ(b*); δ(U*)=δ(a*)+δ(b*); Δ(V*)≈(|b*|Δ(a*)+|a*|Δ(b*))/|b*|^2; δ(V*)=δ(a*)+δ(b*)

5.Правила записи приближенных чисел. Понятие верной цифры.

Запись приближенного числа: a*=AnAn-1..А0; В1В2Вm, где Ai,Bj-десят цифры.

Знач цифры – а* с первой не нулевой слева.

Цифра α приближ числа наз верной в широком смысле, если абсол погр числа а* не превосходит единицы того разряда, к которому принадлеж цифра α.

Цифра α приближ числа наз верной в узком смысле, если абсол погр числа а* не превосходит половины единицы того разряда, к которому принадлеж цифра ее

Цифры в записи приближ числа, о которых неизвестно, явл ли они верными, наз сомнительными.

Замечание.

*Верная цифра приближ числа не обязана совпадать с соотв цифрой в записи точного числа.

*Запись вида а=а*±Δ(а*) означает, что неизв вел-на удовл нерав: а*-Δ(а*)≤а≤а*+Δ(а*)

*Вел-на Δ(а*) запис с 1 или 2 знач цифрами, а мледший разряд а* соотв млад разряду в Δ(а*)

6.Округление чисел.

Округлить число а - означ замен его числом a1 с меньшим кол-ом знач цифр.

Вел-на |а-а1| наз погр округл.

Основное правило проведения округл рез-ов вычисл. Чтобы округл число до n знач цифр, отбрас все цифры, стоящие правее n-й знач цифры, или, если необход сохр разрядность, замен их 0. При этом, если в старшем из отбрас разрядов стоит цифра < 5, то содерж сохр-ых разрядов не изменя. В противном случ в младший сохр-мый разряд добавл 1 с тем же знаком, что и у самого числа.

Правила округления результатов при выполн арифм действий с приближ числами.

1) При * или / приближ чисел с различным числом верных знач цифр производ округл рез-а с числом знач цифр, совпадающих с мин числом верных знач цифр у исходных чисел.

2) При + или - приближ чисел, имеющих одинаковое число верных цифр после запятой, округл не производится;

3) При + или - приближ чисел с различным числом верных цифр после запятой рез округл по мин числу верных цифр после запятой.

7.Вычислительные методы и алгоритмы приближ ф-ий: понятие интерполяции и аппроксимации.

Осн идея методов приближ ф-ии: чаще всего удается получить небольшое число значений ф-ии. Для расчетов с исп этой ф-ии желат иметь достаточно простую анал зависимость. В этом случае заданную таблично ф-ию f(x) замен приближу анал завис-ю φ(х), близкой к f(x) в некотором смысле и удобной для вычисл. Различают два осн способа выбора приближу-ия ф-ий: интерполяция и аппроксимация.

Pm(x) – аппроксимирующий многочлен – многочлен существенно меньшего порядка, чем интерпол многочлен.

Интерполяция: пусть ф-ия f(Х) задана табл ее знач Y0,Y1…Yn в точках X0,X1..Xn наз узлами интерол. Задача интерпол сост в выборе такой ф-ии φ(Х), которая в узлах Xi принимала бы те же знач, что и f(X): φ(Xi)=Yi, i=0,1..n. Обычно в кач-ве интерпол ф-ии выбирают многочлен: φ(X)=anXⁿ+a(n-1)X^n-1+..+a1X+a0.

Задача интерполирования функций состоит в приближенной замене функции f(x) более простой интерполирующей функцией F(x), значения которой в узлах интерполирования x_j (j=1, 2, …n) совпадают с соответствующими значениями f(x), т.е. справедливо равенство

f(x_j)=F(x_j)