2 Алгоритмизация модели системы

2.1 Построение логической схемы работы производственного подразделения.

Рисунок 2.1- Логическая схема работы моделируемой зоны ТО-1

Продолжение рисунка 2.1

Окончание рисунка 2.1

Из анализа уравнения Эрланга для систем массового обслуживания с ожиданием при установившемся режиме работы, вероятности нахождения системы в состоянии описываются:

при а ≤ к ≤ n (2.1)

при 1 ≤ s ≤ m (2.2)

- новая переменная.

Уравнения (2.1) получается путём анализа уравнения Эрланга, при котором определяется закономерность поведения вероятностей.

Вероятность отказа в обслуживании наступит при занятии всех постов и всех мест в очереди:

_{. (2.3)}

Вероятность обслуживания будет равна:

_{. (2.4)}

Относительная пропускная способность будет равна:

_{. (2.5)}

_(2.6)

2.2 Выбор вычислительных средств для моделирования. Минимальными требованиями для решения поставленной задачи являются: ком­пьютер PC 386 , который оснащен процессором IBM PC 386 , тактовая час­тота про­цессора 33 МГц, монитором VGA , оперативной памятью 4 МБ.

Для успешного и более быстрого проведения был использован ноутбук который оснащен процессором Intel CORE i3, оперативной памятью 4,0 Гбайт, жестким диском 620 Гбайт, DVD±R/RW дисководом, и операционной системой Windows 7.

В связи с использованием процессора с высокой тактовой частотой целесообразно использовать модулятор имитации систем массового обслуживания SIM.

3 Регрессионный анализ работы системы

3.1 Результаты вычислительного эксперимента. Регрессионный анализ необходим для получения математических соотношений между используемыми модели параметрами или факторами и показателями эффективности работы системы. Необходимое число опытов N для полнофакторного эксперимента:

=2² = 4, (3.1)

где V – число уровней варьирования (принимается равным 2);

n – число учитываемых факторов.

Составим матрицу спектра плана.

Таблица 3.1 – Матрица спектра плана

N	X0		
1	+	-	-
2	+	+	-
3	+	-	+
4	+	+	+

Целесообразно представить матрицу спектра плана полнофакторного эксперимента в явном виде в виде таблицы 3.2.

Таблица 3.2 - Матрица спектра плана в явном виде

N	X0			
1	1	0,896	0,448	0,401
2	1	1,146	0,448	0,513
3	1	0,896	1,31	1,174
4	1	1,146	1,31	1,501

В соответствии с матрицей спектра плана проводим вычислительный экспери­мент с использованием программы simsim.exe. Накопители, используемые в мо­дели, не ограничиваем по ёмкости и времени ожидания. В качестве критериев эф­фективности принимаем относительную пропускную способность и среднее число занятых каналов. Время моделирования принимаем 1 месяц:

, (3.2)

где Д_р – число принятых дней работы.

Подставив значения в (3.2) получим:

часов.

Шаг моделирования принимаем 0,1.

Результаты эксперимента представим в таблице 3.2.

Таблица 3.2 – Результаты вычислительного эксперимента

Показатели (критерии моделирования)	Номер опыта
	1	2	3	4
1	2	3	4	5
1. Поступило заявок	174	217	177	214
2. Обслужено заявок	54	57	111	117
3. Число отказов	32	29	64	94
4. Абсолютная пропускная способность	0,266	0,280	0,546	0,576
5. Относительная пропускная способность	0,31	0,263	0,627	0,547
6. Вероятность обслуживания	0,31	0,263	0,627	0,547
7. Вероятность отказа	0,184	0,134	0,362	0,439
8. Среднее число занятых каналов	2,245	2,276	1,5	1,7
9. Среднее число заявок в очереди	41,997	63,345	0,067	0,766
10. Среднее число заявок в системе	44,242	65,622	1,567	2,466
11. Среднее время ожидания в очереди	49,120	59,387	0,108	0,8
12. Среднее время пребывания в системе	51,861	61,617	2,063	2,638

3.2 Оценка значимости коэффициентов уравнения регрессии. В качестве основных критериев эффективности наиболее целесообразно принять абсолютную пропускную способность Т_А и число обслуженных заявок N_ОБ

Общий вид уравнений регрессии для данных показателей будет иметь вид:

_{, (3.3)}

_{. (3.4)}

где а₀, а₁, а₂,а₁₂;b₀, b₁, b₂,b₁₂ - коэффициенты линейного уравнения регрессии.

Определение коэффициентов уравнения регрессии осуществляется по матричному уравнению:

, (3.5)

где Х  матрица спектра плана, состоящая из варьируемых факторов;

Х^Т  транспонированная матрица спектра плана;

Y  матрица результатов эксперимента (включает в себя 2 столбца-результата каждого из критериев).

Для расчета коэффициентов уравнения регрессии целесообразно использовать программное приложение Excel. Вначале записывается матрица спектра плана Х:

_.

Далее необходимо из нее получить транспонированную матрицу посредством функции ТРАНСП:

.

На следующем этапе вычислений необходимо получить матрицу-произведение посредством функции МУМНОЖ:

_.

Далее необходимо получить матрицу, обратную произведению посредством функции МОБР:

Далее необходимо найти матрицу-произведение посредством команды МУМНОЖ:

Необходимо составить на основании таблицы 3.2 матрицу-результат:

.

Путем последовательного перемножения матриц при помощи функции МУМНОЖ, можно получить матрицу B, представляющую собой матрицу коэффициентов уравнения регрессии:

.

В полученной матрице В первый столбец представляет собой коэффициенты уравнения регрессии для критерия N_ОБ, а второй столбец соответствует коэффициентам уравнения регрессии для критерия Т_А

Таким образом, для числа обслуженных заявок N_ОБ коэффициенты уравнения регрессии равны:

Для абсолютной пропускной способности Т_А:

Для определения значимости коэффициентов уравнения регрессии необходимо их сравнить с половиной доверительного интервала δ. Коэффициенты уравнения регрессии значимы, если половина доверительного интервала разброса коэффициентов . Если это условие не выполняется, то коэффициент незначим. Стоящий при нём фактор не оказывает влияния на критерий эффективности и его можно исключить из уравнения регрессии.

, (3.6)

где – среднеквадратическое отклонение коэффициента;

- критерий Стьюдента;

- уровень значимости, α = 0,05;

k₂ – число степеней свободы, k₂ = 2;

.

, (3.7)

где S_ост. - остаточная дисперсия

, (3.8)

где y_iр- рассчитанное по уравнению регрессии значение критерия эффективности в i-ой точке спектра плана.

Необходимо найти расчётные значения для числа обслуженных заявок:

_(3.9)

Расчётные значения для абсолютной пропускной способности:

_(3.10)

Далее необходимо определить остаточную дисперсию для числа обслуженных заявок:

Для абсолютной пропускной способности остаточная дисперсия будет равна:

Необходимо определить квадраты среднеквадратических отклонений коэффициентов:

- для числа обслуженных заявок N_ОБ равно:

_,

- для абсолютной пропускной способности Т_А равно:

Далее необходимо определить половину доверительного интервала.

для числа обслуженных заявок:

; (3.11)

- для абсолютной пропускной способности:

_(3.12)

Далее необходимо сравнить коэффициенты уравнения регрессии для числа обслуженных заявок с половиной ширины доверительного интервала:

Условие значимости выполняется, следовательно, все коэффициенты являются значимыми, то есть уравнение регрессии для числа обслуженных заявок имеет вид:

_{. (3.13)}

Необходимо сравнить коэффициенты уравнения регрессии для абсолютной пропускной способности с половиной ширины доверительного интервала:

В уравнении регрессии для абсолютной пропускной способности также выполняются условия значимости для всех коэффициентов, следовательно, оно примет вид:

_{. (3.14)}

3.3 Оценка адекватности математической модели. Уравнение регрессии должно адекватно описывать поведение реальной системы. Степень адекватности и, соответственно, точность регрессионной модели оценивается с помощью критерия Фишера. Если опытный критерий F_оп больше или равен табличному F_т , то модель адекватна и наоборот.

, (3.15)

где S²_y  дисперсия среднего (воспроизводимости), рассчитываемая по формуле:

, (3.16)

где  среднее значение критерия эффективности, рассчитываемое по формуле:

_(3.17)

По формуле (3.17) определяется среднее значение функции отклика (критерия эффективности):

- для числа обслуженных заявок:

- для абсолютной пропускной способности:

_{Далее по формуле (3.16) определяется дисперсия воспроизводимости:}

_{- для числа обслуженных заявок:}

_{- для абсолютной пропускной способности:}

.

По формуле (3.15) необходимо определить опытное значение критерия Фишера:

- для числа обслуженных заявок:

;

- для абсолютной пропускной способности:

.

Табличное значение критерия Фишера берётся с учетом уровня значимости α (α=0,05) и числа степеней свободы:

_(3.16)

Необходимо сравнить опытное и табличное значение критерия Фишера соответственно для числа обслуженных заявок и абсолютной пропускной способности:

_(3.17)

Из соответствия критериям адекватности критериев эффективности, следует, что математическая модель регрессионного анализа адекватна.

3.4 Оптимизация регрессионной модели вектор-градиентным методом. Вектор-градиентный метод поиска экстремума позволяет получить экстремум функции и значения факторов, при которых он достигается.

Для функции трех переменных вектор-градиент записывается в виде:

, (3.18)

где - составляющие вектор-градиента;

- единичные векторы (орты), направленные по координатным осям.

Вектор-градиент всегда направлен перпендикулярно к линиям уровня , в сторону возрастания функции. Подразумевается, что функция отклика непрерывная, дифференцируемая, однозначная и не имеет особых точек. При движении по вектор-градиенту используется шаговый метод. Если одного шага недостаточно, то необходимо производить второй шаг, третий и так до момента, когда выявится область экстремума.

Для определения областей экстремума для регрессионных уравнений (среднего числа занятых каналов и среднего времени ожидания в очереди соответственно), также необходимо использовать шаговый метод.

Схему проведения расчета удобнее привести в таблице 3.2. Расчет производится на ЭВМ с помощью программы SIMSIM.

Таблица 3.2- результаты расчета оптимизации вектор-градиентным методом для числа обслуженных заявок

Показатели		µ
1	2	3	4	5
Основной уровень факторов (точка А1)	1,02	0,885	0,903	142
Интервалы варьирования факторов	0,124	0,437	-	-
Величина шага изменения факторов	0,031	0,109	-	-
Значения факторов на первом шаге (точка А2)	1,051	0,994	1,045	153
Значения факторов на втором шаге (точка А3)	1,082	1,103	1,193	168
Значения факторов на третьем шаге (точка А4)	1,113	1,212	1,349	178
Значения факторов на четвёртом шаге (точка А5)	1,144	1,321	1,511	166

Для числа обслуженных заявок значение функции-отклика оптимально при своем наибольшем возможном значении (экстремуме) в данной модели. Методом вектор-градиента экстремум определился на третьем шаге при следующих значениях факторов:

Таблица 3.3- результаты расчета вектор-градиентным методом для абсолютной пропускной способности

Показатели		µ
1	2	3	4	5
Основной уровень факторов (точка А1)	1,02	0,885	0,903	0,698
Интервалы варьирования факторов	0,124	0,437	-	-
Значения коэффициентов	0,023	0,258	-	-
Произведение коэффициента на интервал варьирования	0,0029	0,113	-	-
Величина шага изменения факторов	0,0007	0,028	-	-
Значения факторов на первом шаге (точка А2)	1,0207	0,913	0,932	0,713
Значения факторов на втором шаге (точка А3)	1,0214	0,941	0,961	0,738
Значения факторов на третьем шаге (точка А4)	1,0221	0,969	0,99	0,743
Значения факторов на четвёртом шаге (точка А5)	1,0228	0,997	1,019	0,772
Значения факторов на пятом шаге (точка А6)	1,0235	1,025	1,049	0,767

Для абсолютной пропускной способности значение функции-отклика оптимально при своем наибольшем возможном значении (экстремуме) в данной модели. Методом вектор-градиента экстремум определился на втором шаге при следующих значениях факторов: