Нормальные напряжения при чистом прямом изгибе.
σ = Еy / ρ - нормальные напряжения при изгибе распределены по высоте сечения неравномерно: максимальные напряжения возникают в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси. По ширине сечения нормальные напряжения не меняются.
Т.к. Ми = Е I / ρ,(где: I = ∫ y2 dA – момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси; ЕI – жесткость сечения при изгибе) и тк как при чистом изгибе балки постоянного сечения Ми = const, то: ρ = EI / Ми = const. Следовательно, изогнутая ось такой балки представляет собой дугу окружности. Выражение радиуса кривизны подставим в формулу для определения нормальных напряжений; тогда: σ = Еy / ρ = Ey / EI / Ми = Ми y / I.
Максимальное значение нормальные напряжения будут иметь у волокон, наиболее удаленных от нейтральной оси: σmax = Ми ymax / I = Ми / I / ymax = Ми / W, где W = I / ymax – момент сопротивления изгибу (или осевой момент сопротивления).
Осевой момент инерции.
Осевым моментом инерции сечения относительно оси x называется сумма произведений элементарных площадок dA на квадрат их расстояний до данной оси, численно равная интегралу.
Осевой момент инерции рассматривается при деформации изгиба.
где,
x – расстояние от элементарной площадки dA до оси у,
у- расстояние от элементарной площадки dA до оси х.
Основные понятия и гипотезы сопротивления материалов.
Сопротивление материалов - Наука о методах расчетов на прочность, жесткость и устойчивость элементов машин и сооружений. Понятия:
Прочность – это способность сопротивляться разрушению под нагрузкой. Жесткость – это способность элемента конструкции сопротивляться деформациям. Устойчивость – это способность элемента конструкции сопротивляться воздействию больших отклонений от равновесия при малых изменениях нагрузки. Расчет реальных конструкций и их элементов является либо теоретически невозможным, либо практически неприемлемым по своей сложности. Поэтому в сопротивлении материалов применяется модель идеализированного деформируемого тела, включающая следующие допущения и упрощения:
Гипотеза сплошности и однородности: материал представляет собой однородную сплошную среду; свойства материала во всех точках тела одинаковы и не зависят от размеров тела.
Гипотеза об изотропности материала: физико-механические свойства материала одинаковы по всем направлениям.
Гипотеза об идеальной упругости материала: тело способно восстанавливать свою первоначальную форму и размеры после устранения причин, вызвавших его деформацию.
Гипотеза (допущение) о малости деформаций: деформации в точках тела считаются настолько малыми, что не оказывают существенного влияния на взаимное расположение нагрузок, приложенных к телу.
Допущение о справедливости закона Гука: перемещения точек конструкции в упругой стадии работы материала прямо пропорциональны силам, вызывающим эти перемещения.
Принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции): результат воздействия нескольких внешних факторов равен сумме результатов воздействия каждого из них, прикладываемого в отдельности, и не зависит отпоследовательности их приложения.
Гипотеза Бернулли о плоских сечениях: поперечные сечения, плоские и нормальные к оси стержня до приложения к нему нагрузки, остаются плоскими и нормальными к его оси после деформации.
Принцип Сен-Венана: в сечениях, достаточно удалённых от мест приложения нагрузки, деформация тела не зависит от конкретного способа нагружения и определяется только статическим эквивалентом нагрузки.
Эти положения ограниченно применимы к решению конкретных задач. Например, для решения задач устойчивости утверждения 4-6 не справедливы, утверждение 3 справедливо не всегда.