Понятие устойчивости. Продольный изгиб.

На любую систему всегда действуют различные внешние возмущения, которые могут нарушить ее нормальную работу. Правильно спроектированная система должна устойчиво работать при всех внешних возмущениях.

В простейшем случае понятие устойчивости системы связано со способностью ее возвращаться (с определенной точностью) в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния. Если система неустойчива, то она не возвращается в состояние равновесия, из которого ее вывели, а либо удаляется от него, либо совершает вокруг него недопустимо большие колебания.

Продольный изгиб - искривление длинного бруса прямолинейной формы, сжимаемого силой, направленной вдоль оси, вследствие потери устойчивости равновесия. Пока действующая сила Р невелика, брус только сжимается. При превышении нек-рого значения, наз. критической силой, брус самопроизвольно выпучивается. Это нередко приводит к разрушению или недопустимым деформациям стержневых конструкций.

Поперечная деформация при растяжении и сжатии.

Поперечные размеры сечения при растяжении уменьшаются, а при сжатии увеличиваются. При одноосном растяжении и сжатии отношения относительной продольной и поперечной деформации – величина постоянная. Впервые установил зависимость Пуассон, отсюда это называется коэффициентом Пуассона - μ=ε'/ε. (характеризует упругие свойства)

Потенциальная энергия деформации при чистом сдвиге.

Если участок стержня длиной  испытывает чистый сдвиг, формула потенциальной энергии деформации,накапливаемой в стержне:

τ-напряжение

G – коэффициент жесткости

- поперечная сила

Потенциальная энергия деформации при растяжении.

Потенциальная энергия деформации при растяжении

При статическом (медленном) растяжении образца растягивающая сила Fвозрастает от нуля до какого-то значения, удлиняет образец на величину Δl и при этом совершает работу W.  Эта работа аккумулируется в деформируемом образце в виде потенциальной энергии деформации U, причем, пренебрегая незначительными потерями энергии (например, тепловыми), можно считать, что W = U.

Путем изучения диаграмм растяжения образцов, установлено, что потенциальная энергия упругой деформации стержня длиной l постоянного поперечного сечения А при одинаковой во всех сечениях продольной силе N = F будет равна:

U = W = F Δl / 2 = N2 l / (2E А)

Сопротивление материалов оперирует, также, таким понятием, как удельная потенциальная энергия деформации, которая подсчитывается, как потенциальная энергия, приходящаяся на единицу объема бруса.

При одновременном действии растягивающих и сжимающих нагрузок или ступенчатом изменении размеров поперечного сечения бруса, его разбивают на однородные участки и для каждого подсчитывают потенциальную энергию деформации. Потенциальную энергию деформации всего бруса определяют, как сумму потенциальных энергий отдельных участков.

Единицей измерения потенциальной энергии деформации, как и работы, являетсяджоуль (Дж).

Потенциальная энергия деформации при кручении.

Вращающий момент Т вызыввает в брусе деформацию круения и при этом совершает работу W, которая аккумулируется в виде потенц.энергии П, пренебрегая незначительными потерями энергии можно считать что W= П. Как известно, работа равна в случае статич.нагружения равна: (

Т.к. Т = М_к, то П = М_к* М_к*l/(2GI_p)= М_к² l/(2GI_p).

При одновременном действии нескольких моментов или ступенчатом изменении размеров поперечного сечения брус разбивается на участки и потенциальную энергию деформации всего бруса определяют как сумму потенциальных энергий отдельных его участков.

Расчет на прочность и жесткость при кручении.

Расчётная формула на прочность при кручении имеет вид: τmax = Мкр / Wr ≤ [τкр], где [τкр] - предельное допускаемое напряжение.

Расчетная формула на жесткость при кручении имеет вид:

φ0°= 180 Мкр / (пGIr) ≤ [φ0°]

В реальных механизмах обычно допускаются углы закручивания валов в пределах [φ0°] = 0,25...1 градус/м.

Расчет на устойчивость сжатых стержней.

 Напряжения в сжатом стержне не должны превышать критических напряжений:  .

Условие прочности при сжатии:

.

Расчет сжатого стержня на устойчивость можно привести по форме к расчету на простое сжатие. Необходимо учесть, что длинный стержень (большой гибкости) потеряет устойчивость при меньшем напряжении, чем допускаемое напряжение  . Условие устойчивости сжатого стержня:  , где  -коэффициент продольного изгиба.

Проектировочный расчет по условию устойчивости сжатого стержня  , связанный с подбором размеров поперечного сечения стержня, приходится осуществлять методом последовательных приближений. Это обусловлено тем, что площадь поперечного сечения стержня в неявном виде входит и в правую часть выражения требуемой нагрузки  , поскольку коэффициент продольного изгиба ( ) зависит от гибкости стержня ( ), а она - от радиуса инерции:  .

Расчет прочности при сдвиге.

Условие прочности детали конструкции заключается в том, что наибольшее напряжение, возникающее в ней (рабочее напряжение), не должно превышать допускаемое.

Расчетная формула при сдвиге:

τ = Q / А ≤ [τ]

Допускаемое напряжение зависит от предела текучести. Q = F – поперечная сила. А – площадь поперечного сечения.

Расчеты на прочность при поперечном изгибе.

При поперечном изгибе наибольшие нормальные напряжения возникают в наиболее удаленных от нейтральной оси точках сечения, а на самой этой оси нормальные напряжения равны нулю, тогда как зона действия наибольших касательных напряжений расположена, наоборот, вблизи нейтральной оси. Кроме того, величина мала по сравнению с если длина балки существенно больше высоты сечения. Все это позволяет не принимать во внимание касательные напряжения и проводить расчет на прочность только по нормальным напряжениям. Условие прочности балки требует, чтобы максимальные нормальные напряжения не превышали допускаемых напряжений для материала балки:

А для материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие, пределом прочности будет наибольшая величина по модулю, выводимая из этих 2х формул:

Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.

Расчетная формула при растяжении и сжатии имеет вид  = N/A ≤ [] и читается: нормальное напряжение в опасном сечении, вычисленное по формуле  = N/A, не должно превышать допускаемого.

При расчете конструкций на прочность встречаются 3 вида задач, различающихся видом используемой расчетной формулы :

1. Проектный расчет, при котором определяются размеры опасного сечения по формуле:

A = N_max / []

2. Проверочный расчет, при котором определяется рабочее напряжение и сравнивается с допускаемым:

 = N/A ≤ []

3. Определение допускаемой нагрузки ведется по формуле:

[N] = А[]

Расчеты на смятие.

Часто одновременно со сдвигом происходит смятие боковой поверхности. На поверхности возникают сжимающие напряжения, называемые напряжениями смятия, σсм.

Расчет также носит условный характер. При расчете боковой цилиндрической поверхности напряжения по поверхности распределены не равномерно, поэтому расчет проводят для наибо­лее нагруженной точки. Условие прочности при смятии можно выразить соотношением:

;

Асм = dδ, где d — диаметр окружности сечения; δ — наименьшая высота соединяемых пластин;

Асм — расчетная площадь смятия; допускаемое напряжение смятия;

[σсм] - допускаемое напряжение при смятии.

F — сила взаимодействия между деталями.