Необходимые условия возрастания и убывания функции в точке и на интервале

   Теорема. Для того чтобы функция f (x), дифференцируемая в точке х₀ (а, b), возрастала (убывала) в точке x₀, необходимо, чтобы её производная в точке х₀ была неотрицательной f ' (x₀) ≥ 0 (неположительной f ' (x₀) ≤ 0).    Доказательство. Пусть функция f (x) возрастает в точке х₀ (а, b) и справедливы неравенства

f (x₀ − h) < f (x₀) < f (x₀ + h)

В этом случае для положительного приращения h имеем

 и .

Выполняя предельный переход в неравенствах, получим

.

Аналогично

.

Так как функция имеет производную в точке, то

,

что и требовалось доказать.    Определение. Функция f (x) называется строго возрастающей (убывающей) на отрезке [а, b], если для любых значений аргументов из этого отрезка большему значению аргумента соответствует строго большее (меньшее) значение функции.    Как следствие теоремы Лагранжа можно сформулировать теорему.    Теорема. Если функция f (x) определена на отрезке [а, b], дифференцируема в точках х (а, b) и

f ' (x) > 0, ( f ' (x) < 0),

то функция f (x) возрастает (убывает) на отрезке [а, b ].    Доказательство. Применим теорему о конечных приращениях для двух произвольных точек х₁ < х₂  [а, b]

f (x₂) − f (x₁) = f ' (c)·( x₂ − x₁),

где с  ( x₁ ; x₂). Из этого соотношения следует

sign ( f (x₂ ) − f ( x₁ ) ) = sign f ' ( c)

   В случае f ' (x) > 0 для всех х (а, b) имеем f (x₂) > f (x₁) , и большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Что свидетельствует о возрастании функции.

Достаточное условие возрастания (убывания) функции на интервале

Если то функция возрастает (убывает) на .

Доказательство:

Пусть , . По теореме Лагранжа: , где По условию и . Следовательно , . Следовательно, функция возрастает на .

11. Определение точки максимума (минимума) ф.и. Необходимое условие экстремума, достаточное условие экстремума ф.и.

Точки экстремума

   Точка x₀ называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f (x), если для всех значений аргумента из некоторой достаточно малой δ - окрестности точки х₀ выполняется неравенство

f (x) < f (x₀) ( f ( x) > f ( x₀ ) )

при х ≠ x₀.    Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием экстремум. Из определения следует, что понятие экстремума носит локальный характер в том смысле, что неравенство f ( x) < f ( x₀) ( f (x) > f ( x₀ )) может и не выполняться для всех значений х в области определения функции, а должно выполняться лишь в некоторой окрестности точки x₀.    Очевидно, функция может иметь несколько локальных максимумов и несколько локальных минимумов, причем может так случиться, что иной локальный максимум окажется меньше какого-то другого локального минимума.    В точках экстремума приращение функции имеет определённый знак. Если Δ f = f ( x₀ + h ) − f ( x₀) ≥ 0 для достаточно малых значений h, то точка х₀ является точкой локального минимума. Если Δ f = f ( x₀ + h ) − f (x₀) ≤ 0 для достаточно малых значений h, то точка х₀ является точкой локального максимума. Точки экстремума это точки графика функции, которые отделяют участки определённой монотонности друг от друга.    Ниже приведены виды точек экстремумов. В первых двух функция определена и производная существует, такие точки называются стационарными.     Функция в точках экстремума определена, однако производной в точке экстремума может не существовать.

Формулировка

Если функция имеет локальный экстремум в точке и дифференцируема в этой точке, то

Доказательство

Пусть, например, функция имеет локальный минимум в точке Тогда, по определению локального минимума для всех выполняется неравенство Если то тогда из условия следует, что а если то выполняется неравенство Так как функция f предел при в левой части неравенства , равный По свойствам пределов из следует, что Аналогично, переходя к пределу в неравенстве получаем Из неравенств и следует, что