Т.А о пределе суммы ф.Й, имеющих предел при X .

Т.а. Предел суммы конечного числа ф.й при x , равен сумме пределов этих ф.й.

Док-во. Проведем Док-во для двух слагаемых, т.к. для любого конечного числа слагаемых оно проводится так же. Пусть , а .Тогда ф.и и могут быть представлены в виде f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x), где α и β – бесконечно малые ф.и. Следовательно, f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x)).

Т.к. b + c есть постоянная величина, а α(x) + β(x) – ф. б.м., то

Аналогично доказывается Т.ы: «Предел суммы конечного числа ф.й при x +, равен сумме пределов этих ф.й» и «Предел суммы конечного числа ф.й при x , равен сумме пределов этих ф.й».

Т.А о пределе произведения ф.Й, имеющих предел при X .

Т.а. Предел произведения конечного числа ф.й при x , равен произведению пределов этих ф.й.

Док-во. Проведем Док-во для двух множителей, т.к. для любого конечного числа множителей оно проводится так же. Пусть , а .Тогда ф.и и могут быть представлены в виде f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x), где α и β – бесконечно малые ф.и.

Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x) и .

Произведение bc есть величина постоянная. Ф. на основании свойств бесконечно малых ф.й есть величина б.м.. Поэтому .

Аналогично доказывается Т.ы: «Предел произведения конечного числа ф.й при x +, равен произведению пределов этих ф.й» и «Предел произведения конечного числа ф.й при x, равен произведению пределов этих ф.й».

Т.а о пределе частного ф.й, имеющих предел при x +.

Т.а. Предел частного двух ф.й x + равен частному пределов этих ф.й, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.

Док-во. Пусть и , причём c0. Тогда ф.и и могут быть представлены в виде f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x), где α и β – бесконечно малые ф.и.

Рассмотрим частное =

Дробь является бесконечно малой ф.ей, т.к. числитель есть б.м. ф., а знаменатель имеет предел c²≠0. Поэтому,

Аналогично доказывается Т.ы: «Предел частного двух ф.й при x  равен частному пределов этих ф.й, если предел знаменателя отличен от нуля» и «Предел частного двух ф.й при x  равен частному пределов этих ф.й, если предел знаменателя отличен от нуля»

3. Т.а о пределе промежуточной ф.и; первый замечательный предел ф.и; второй замечательный предел ф.и.

Т.а. Если существует луч , на котором выполняются неравенства или , причём , то .

Док-во.

Из неравенств и следует, что при x>M .

Т.к. , то для любого найдётся M₁>0, что при всех x, таких, что x>M₁ будет выполняться условие |(x) – b|< ε.

Пусть М₂ – большее из чисел М и М₁. Тогда для любого x>M₂ будет верно, что |(x) – b|< ε, а значит, будет верным и |f(x) – b|< ε, т.е. .

4. Определение односторонних пределов, предел ф.и при ; Определение бесконечно большой ф.и; определение бесконечно малой ф.и. Т.а о сумме б.м.; о произведении ограниченной ф.и на б.м.; о произведении б.м.; о частном от деления б.м. на ф.ю, имеющую предел ; Т.а о связи б.м. и б.б. ф.й.