Лекция 4.4. Релаксационное внутреннее трение. Материалы с особыми демпфирующими свойствами. Релаксационное внутреннее трение.

Релаксационное внутреннее трение связано с так называемым динамическим гистерезисом. Основное свойство его состоит в том, что площадь цикла зависит от скорости нагружения и не зависит от амплитуды деформации. В отличие от динамического, площадь цикла статического гистерезиса не зависит от частоты, но существенно зависит от амплитуды колебаний.

Динамический гистерезис возникает в твердых телах тогда, когда в них под действием внешних сил происходят такие перестройки, для совершения которых необходимо время. Если переход тела от метастабильного состояния к термодинамически стабильному протекает во времени, то говорят, что в теле происходят релаксационные процессы.

Рассмотрим поведение тела, в котором могут происходить релаксационные процессы. Пусть в момент времени t₁ на тело начало действовать растягивающее напряжение ₀ (рис. 4.8,а), величина которого значительно меньше предела упругости _у. В момент времени t₁ мгновенно возникает упругая деформация ₀.причем связь между ₀ и ₀ определяется законом Гука:

                                                                          ₀=Е_н₀                                                                                     (4.43)

где Е_н – нерелаксированный модуль упругости.

Однако вследствие протекания релаксационных процессов деформация тела с течением времени изменяется, то есть происходит упругое последействие. Таким образом (рис.4.8 ,а), в момент времени t>t₁  . При t=t₁   , а при    . Та деформация _н, которая зависит от времени, называется неупругой деформацией (ее максимальное значение обозначено через  ). Появление неупругой деформации _н обусловлено внутренними перестройками в теле в процессе установления равновесия, нарушенного внешней силой. При   связь между деформацией и ₀ будет равна:

                                                               ₀=( )Е_р= Е_р                                                     (4.44)

Здесь Е_р – релаксированный модуль упругости, который всегда меньше Е_н.

При снятии нагрузки (например при t=t₂) в теле протекает обратное упругое последействие.

Таким образом, в рассматриваемом выше случае тело ведет себя неупруго, то есть отсутствует однозначная связь между  и из-за отставания деформации от напряжения. Но в то же время в рассмотренном теле отсутствует и пластическая деформация, поскольку при снятии нагрузки остаточная деформация через достаточно большой промежуток времени исчезает (рис. 4.8.а).

Рис. 4.8 Схема проявления прямого и обратного упругого последействия (а), а также релаксации напряжений (б)

Релаксационные процессы могут также проявляться в виде релаксации напряжений (рис. 4.8, б), необходимых для поддержания заданной деформации  .

Вследствие отставания во времени деформации от напряжения , при периодическом нагружении возникает петля динамического гистерезиса (схема появления петли показана на рис. 4.8). Упругое последействие и динамический гистерезис есть разные проявления релаксационных процессов в твердых телах.

При периодическом нагружении:

                                                                     ,                                                          (4.45)

Где  - круговая частота, равная 2f, _а – амплитуда напряжения. Так как деформация отстает по времени от напряжения, то

                                                                  ,                                                       (4.46)

Где  - угол отставания по фазе между  и , а   - амплитуда деформации, равная   (рис. 4.8,а) и зависящая от частоты . Петля гистерезиса при этом имеет форму эллипса, площадь которого при малых  равна:

                                                                    W tg _а₀                                                          (4.47)

По определению:

                                                                                     (4.48)

Рассмотрим теорию линейной модели Зинера, которая описывает динамический гистерезис и соответствующее ему внутреннее трение. В линейной теории скорость приближения к равновесной деформации   при упругом последействии тем больше, чем значительнее отклонение от равновесного состояния, то есть:

                                                             ,                                                  (4.49)

Где   - время релаксации процесса при =const. Аналогично в случае релаксации напряжений

                                                                                                              (4.50)

Где   - время релаксации процесса при =const.

Учитывая, что конечные значения напряжения и деформации связаны друг с другом через релаксированный модуль упругости (4.44), получим из уравнений (4.49) и (4.50) уравнение релаксации в виде:

                                                              ,                                                   (4.51)

которое описывает поведение так называемых стандартных линейных тел.

Для наиболее интересного случая периодически изменяющихся напряжений следует пользоваться дифференциальным уравнением (4.51), решение которого ищут в комплексном виде:

                                                                   

                                                                                                                             (4.52)

Подставляя решения (4.52) в уравнение (4.51) можно получить, что:

                                                                                                        (4.53)

Исходя из этого уравнения, можно показать, что

                                                                                                                                   (4.54)

Так как Е_н>Е_р, то из последнего соотношения следует, что  > .

Используя то обстоятельство, что tg=ImE/ReE=Q^-1, получим для Q^-1:

                                                            ,                                                 (4.55)

где  . Величина  называется степенью релаксации или дефектом модуля. Когда степень релаксации равна нулю, тогда и внутреннее трение равно нулю.

Проанализируем частотную зависимость внутреннего трения. При очень маленьких частотах, когда <<1, Q^-1=0. Внутреннее трение также отсутствует при очень высоких частотах колебаний (>>1). Физически это означает, что в первом случае, то есть при квазистатическом нагружении, система успевает достигнуть равновесного состояния и, следовательно, меняется в фазе с . Во втором случае, при очень быстром изменении , неупругая часть деформации не успевает возникнуть, и поэтому деформация тела является чисто упругой и находится в фазе с . Однако при <<1 деформация тела в любой момент времени равна  , а при >>1 она равна только ₀.

Максимальное значение Q^-1 достигается при условии =1 и равно:

                                                                                                                                   (4.56)

Таким образом, зависимость Q^-1() в общем случае описывается кривой с максимумом (рис. 4.9).

Таким образом, из анализа вышесказанного следует, что модуль упругости и внутренне трение при различных условиях нагружения соответственно равны:

                                                   

                                                      

Рис. 4.9 Зависимость внутреннего трения и динамического модуля упругости от частоты колебаний при постоянной температуре (=const)

Для релаксационных явлений, обусловленных атомными диффузионными процессами, справедливо уравнение Аррениуса, определяющее зависимость времени релаксации от температуры:

                                                                    ,                                                         (4.57)

где ₀ – постоянная релаксации, а U – энергия активации процессов, Т- абсолютная температура. Поскольку Q^-1 зависит от частоты и времени релаксации через произведение , можно при постоянной частоте  варьировать время релаксации  путем изменения температуры. Для температуры, при которой выполняется условие =1, на кривой Q^-1(Т) будет наблюдаться максимум.