Связь модуля упругости с энергией связи

На первый взгляд, пропорциональность модуля упругости и силовой постоянной f  не позволяет утверждать, что существует аналогичная связь между K и энергией связи ε (не путать со степенью деформации!). Действительно, силовая постоянная f ≡ φ″(r₀) характеризует кривизну дна потенциальной ямы, т.е. описывает поведение потенциальной кривой только в окрестности точки минимума. Энергия связи определяется глубиной потенциальной ямы.

Тем не менее, использование аналитического выражения для потенциала в виде уравнения Иоффе (1.60) позволяет установить связь между K и ε. Используя определение силовой постоянной как второй производной потенциала по расстоянию в точке минимума и следующее из уравнения Иоффе выражение  для этой производной, получим:

                                                                  f = n(n–m)B/r₀ⁿ⁺².                                                        (4.19)

Для энергии связи можно получить аналогичное выражение, используя формулу для равновесного расстояния и равенствоε = – φ(r₀). В результате получим

                                                                   ε = (n–m)B/mr₀ⁿ.                                                         (4.20)

Из (4.19) и (4.18) следует, что

                                                                      f = (nm/r₀²) ε,                                                           (4.21)

т.е. силовая постоянная прямо пропорциональна энергии связи. Подставляя последнее выражение в (4.17) и учитывая равенство Ω = q r³, находим

                                                                 K =  (nmz₁/18) ε/Ω.                                                       (4.22)

Получен важный результат, который в дальнейшем будет использован для качественного прогноза влияния различных факторов на модули упругости: модуль упругости прямо пропорционален отношению энергии связи к объему, приходящемуся на атом.

Учитывая связь энергии связи и энтальпии сублимации H_s, следует ожидать, что существует прямая пропорциональность между модулем всестороннего сжатия и отношением энтальпии сублимации к атомному объему:

                                                                         K ~ H_s/Ω.                                                              (4.23)

Сопоставление с экспериментом такую пропорциональность в принципе подтверждает (рис. 4.2).

Рисунок 4.2– Корреляция между модулем всестороннего сжатия и отношением теплоты сублимации к объему, приходящемуся на атом

Чем выше энергия связи, тем выше температура плавления. Поэтому существует также корреляция между модулем всестороннего сжатия и отношением температуры плавления к атомному объему:

                                                                        K ~  T_пл/Ω.                                                             (4.24)

Более общим является эмпирическое уравнение Портевена для модуля Юнга:

                                                                E = const·(T_пл^a/V_уд^b),                                                     (4.25)

где V_уд – удельный объем, a ≈ 1, b ≈ 2.

Следует также отметить периодичность модуля упругости в зависимости от атомного номера в таблице Менделеева. Модуль упругости переходных металлов относительно высок, что можно приписать значительной силе межатомной связи, обусловленной d-электронами. Наибольшее значение модуля имеют элементы с 5-7 d- электронами

Лекция 4.2. Влияние температуры на модуль упругости. Упругие свойства сплавов. Влияние фазового состояния и структуры на модули. Ферромагнитная аномалия упругости

Влияние температуры на модуль упругости

Качественно влияние температуры на модуль упругости можно обсудить с помощью формулы (4.22), согласно которойK ~ ε/Ω. Повышение температуры вследствие эффекта термического расширения увеличивает расстояние между атомами и объем Ω, приходящийся на атом. Поэтому из-за обратной пропорциональности между модулем упругости и величиной Ωследует ожидать падения модуля при нагреве. Энергия связи как работа, необходимая для удаления атома из твердого тела, также должна уменьшаться при увеличении температуры из-за того, что энергия атома выше дна потенциальной ямы на величину кинетической энергии (энергии колебаний), растущей с температурой. Следовательно, это также должно способствовать уменьшению модуля упругости.

Как и в случае давления, для количественной оценки влияния температуры используем формулу: K = K(0) [1 – 6γε]. Относительную деформацию ε можно рассматривать как результат термического расширения: ε = α·ΔТ, где α = (1/r₀) dx/dT – температурный коэффициент линейного расширения, ΔТ – изменение температуры при нагреве. Тогда производная модуля упругости по температуре равна:

                                                                dK/dT = – 6γα K(0),                                                      (4.26)

а температурный коэффициент модуля всестороннего сжатия

                                                            α_K ≡ (1/K) dK/dT ≈ – 6γα .                                                (4.27)

Это означает, что температурный коэффициент модуля упругости отрицателен и по модулю примерно на порядок больше температурного коэффициента линейного расширения. При α ~ 10^–5 К^–1 значение температурного коэффициента |α_K| ~ 10^–4 К^–1.

Как известно из ранее пройденного материала Ас_р, следовательно α_K  изменяется в зависимости от температуры также, как и решеточная теплоемкость, то есть:

                                                              α_K ~  при Т<_Д,

                                                                  α_K ~3R при Т>_Д.

Такие зависимости наблюдались экспериментально и для модуля Юнга многих металлов при температурах от комнатной до 0,5Т_пл:

                                                                   E = E₀ (1 - α_ET),                                                         (4.28)

где α_E – температурный коэффициент модуля Юнга. Значение коэффициента α_E по абсолютной величине составляет примерно (1…4)·10^–4 К^–1. Из указанного интервала меньшие значения наблюдаются для тугоплавких металлов, большие – для легкоплавких.

При повышенных температурах наблюдается нелинейная температурная зависимость модуля упругости пропорциональная , где Q – энергия активации дефекта модуля, близкая по величине к энергии активации образования вакансий. Темп снижения модуля увеличивается по мере приближения к температуре плавления. При нагревании от низких температур до плавления модули упругости металлов уменьшаются на 20-30 %.

Монотонный ход температурной зависимости модулей упругости прерывается в точках фазовых переходов (установление ферромагнитного или антиферромагнитного порядка, аллотропические превращения и т.д).