Раздел 4. Упругие свойства материалов

Лекция 4.1. Определение основных величин и упругость металлов. Модули упругости. Модули упругости кристаллических тел и монокристаллов. Связь модуля упругости с потенциалом межатомного взаимодействия.

Определение основных величин и упругость металлов. Модули упругости

Наиболее распространенными характеристиками упругих свойств материалов являются модули упругости. Они вводятся как коэффициенты пропорциональности между напряжением и относительной деформацией в законе Гука, который имеет разный вид для случаев, отличающихся способом приложения к телу механической нагрузки.

Для случая растяжения закон Гука имеет вид:

(4.1)

где σ – растягивающее напряжение, Е – модуль Юнга (модуль нормальной упругости), ε – относительное удлинение.

При сдвиге

(4.2)

где τ – касательное напряжение (напряжение сдвига), G – модуль сдвига, γ – сдвиговая деформация (тангенс угла сдвига).

При всестороннем сжатии

(4.3)

где p – давление, K – модуль всестороннего сжатия (иногда эту величину называют модулем объемной упругости), ΔV/V – относительное изменение объема тела.

Модули упругости связаны друг с другом:

(4.4)

где ν – коэффициент Пуассона. Он определяется как взятое с обратным знаком отношение относительных изменений размеров перпендикулярно направлению растяжения и вдоль него:

                                                                 ν = – (Δa/a) / (Δl/l),                                                         (4.5)

где a – поперечный размер тела, l – продольный размер. Значения коэффициента Пуассона металлов изменяются от 0,039 (для Be) до 0,46 (для Tе и In). Для большинства металлов ν = 0,25…0,35.

Из (4.4) следует, что при ν = 1/3 численные значения модуля Юнга и модуля всестороннего сжатия совпадают (E = K). При ν > 1/3 выполняется неравенство E < K, а при ν < 1/3 выполняется неравенство E > K.

На рисунке 4.1 продемонстрировано отношение модуля сдвига  к модулю Юнга при 0 К для различных металлов.

Из экспериментальных данных следует, что отношение G/E3/8.

Рис. 4.1 Корреляционная зависимость модуля сдвига G и модуля Юнга Е при 0 К для металлов с ОЦК, ГЦК и ГПУ решетками. Прямая линия соответствует отношению G/E=3/8=0,375

Модули упругости кристаллических тел и монокристаллов.

Приведенное описание Е и G относится к одноосной деформации тела. Для полного описания закона Гука следует рассмотреть соотношения между приложенными силами и деформациями кристалла при произвольной деформации. Для этого в декартовой системе координат нужно найти компоненты деформации и напряжения, а тем самым и компоненты модуля упругости тела. Последнее необходимо узнать для того, чтобы оценить анизотропию упругости в кристалле.

Если закон Гука выписать в полном виде по всем компонентам, то нужно составить следующие 6 уравнений: три для нормальных и три для касательных компонент напряжений:

      

       

    (4.6)

       

       

       

Коэффициенты с_ij (i=1,2,3,4,5,6 и j=1,2,3,4,5,6) называют модулями упругости. То есть для полного описания упругого поведения кристаллического тела нужно определить 36 материальных констант упругости. Однако в большинстве случаев реальное количество необходимых коэффициентов существенно меньше, в силу симметрии кристаллов. Часть коэффициентов равна нулю, часть связаны простыми уравнениями.

Для квазиизотропного металла – мелкокристаллического и нетекстурованного – достаточно двух коэффициентов – E и G, из уравнений 4.1-4.4.

Для кубических кристаллов (Al, Au, Cu, Pb, Fe, Na, W) достаточно трех коэффициентов – c₁₁, c₁₂, c₄₄ – для полного описания упругой деформации.

Для кристаллов с гексагональной решеткой (Mg, Zn, Cd) достаточно знать пять констант (с₁₁,с₁₂, с₁₃, с₃₃, с₄₄).

Для металлов с низшей симметрией (Sb, Bi, Sn) шесть констант (с₁₁,с₁₂, с₁₃, с₁₄, с₃₃, с₄₄)

В случае кубических кристаллов с₄₄ характеризует сопротивление сдвигу в плоскости куба (100) вдоль ребра куба; величина ½^.(с₁₁-с₁₂) определяет сопротивление сдвигу в плоскости (110) вдоль направления [1 0].

Отношение:

                                                                      ,                                                             (4.7)

- характеризует анизотропное сопротивление кристаллической решетки воздействию внешних сдвигающих напряжений и называется показателем анизотропии. Для изотропного тела А=1. Среди металлов только W упруго изотропен при комнатной температуре. Для металлов показатель анизотропии находится в пределах от 0,8 до 4. Щелочные металлы имеют особенно сильную анизотропию: для К А=6,7, для Li А=8,4. Для большинства кубических металлов показатель анизотропии больше 1: Е[111]>E[110]>E[100]. Исключением являются Cr, V, Mo – они имеют А<1: для них E[100]>E[110]> Е[111].

Связь модуля упругости с потенциалом межатомного взаимодействия

Ранее мы уже показывали, что модуль всестороннего сжатия прямо пропорционален отношению силовой постоянной к равновесному расстоянию между атомами:

                                                                        K = f / 3r₀.                                                                (4.8)

Это выражение позволяет получить лишь грубую оценку значения модуля упругости, так как при выводе рассматривался частный случай примитивной кубической решетки.

Приведем более общий вывод выражения для объемного модуля упругости.

Модуль K можно определить соотношением, эквивалентным закону Гука для случая всестороннего сжатия:

                                                                  K = – V (∂р/∂V)_T .                                                         (4.9)

Из термодинамики известно, что давление можно рассчитать как производную внутренней энергии U по объему V при постоянной температуре, взятую с обратным знаком:

                                                                   р = –  (∂U/∂V)_T .                                                        (4.10)

Отсюда следует, что

                                                                  K = V (∂²U/∂V²)_T.                                                        (4.11)

Таким образом, расчет модуля упругости свели к вычислению второй производной внутренней энергии по объему.

Удобно перейти к величинам, отнесенным к одному атому:

Ω ≡ V /N = q r³ – объём, приходящийся на атом,

u ≡ U/N = z₁φ(r)/2 – энергия на один атом,

где N – число атомов в теле, z₁ – координационное число.

Тогда для модуля упругости получим

                                                                  K = Ω (∂²u/∂Ω²)_T.                                                        (4.12)

Первая и вторая производные внутренней энергии равны:

                                               ∂u/∂Ω = (∂u/∂r) (∂r/∂Ω) = (z₁φ′(r)/2)/3qr²,                                     (4.13)

                                   ∂²u/∂Ω² = ∂/∂r(∂u/∂Ω) (∂r/∂Ω) = (z₁/18q²r²) ∂/∂r(φ′(r)/r²).                        (4.14)

В свою очередь, ∂/∂r(φ′(r)/r²) = [r²φ″(r) – 2rφ′(r)]/r⁴.

Как и раньше, следует разложить φ(r) в ряд по степеням (r – r₀) вблизи точки минимума энергии r₀ и при малых деформациях ограничиться двумя первыми неисчезающими слагаемыми. В результате получим

                                                                 K = K(0) [1 – 6γε],                                                       (4.15)

где

                                                                   K(0) = z₁ f /18qr₀                                                         (4.16)

– модуль всестороннего сжатия в недеформированном состоянии,

f ≡ φ″(r₀) – силовая постоянная,

ε = (r – r₀)/r₀ – степень деформации,

γ – постоянная Грюнайзена.

Для материала с произвольной кристаллической решеткой справедливо выражение:

                                                                     K = z₁f / 18qr₀                                                                              (4.17)

Для примитивной кубической решетки обе формулы совпадают, так как z₁ = 6, q=1 и (z₁/18q) = 1/3.

Согласно (4.14), модуль упругости должен при деформации уменьшаться. Относительная величина этого уменьшения составляет –6γε, т.е. примерно на порядок больше степени деформации. При одной и той же степени деформации относительное уменьшение модуля упругости определяется только постоянной Грюнайзена, которая характеризует асимметрию потенциальной кривой относительно своего минимума.