Запись вещественного числа в эвм
Любое вещественное число N с основанием P можно записать в виде:
Здесь M – мантисса, S – порядок числа. Это представление числа с плавающей точкой, где порядок определяет, на сколько разрядов нужно осуществить сдвиг относительно данной точки. Очевидно, что если точка стоит перед первой значащей цифрой, то при ограниченной величине разрядной сетки мы получаем максимальную точность числа, следовательно, мантисса должна быть правильно дробью (М<1), у которой первая цифра после точки отлична от нуля. Для двоичной системы счисления, а=1 и при соблюдении условия М = 0, 1… она называется нормализованной.
Нормализованная мантисса в двоичной системе счисления всегда представляется десятичным числом n в диапазоне 0,5 ≤ n < 1. В машинах вещественные числа, как правило, представляются в трех форматах: одинарном, двойном и расширенном, имеющих одинаковую структуру.
n-1 Знак мантиссы |
n-2 |
… порядок (смещенный код) |
…> |
<… |
Нормализованная мантисса (абсолютная величина) |
… |
… |
… |
0 |
(там, куда указывают > < Уланов обозначал звездочку внизу на стыке этих двух ячеек, но мое бедное знание Ворда не позволяет иллюстрировать это)
Задание порядка в смещенном коде позволяет производить операции над ними как над беззнаковыми числами, что упрощает операции сравнения, сложения и вычитания порядков, а так же операции сравнения самих нормализованных чисел.
В одинарном формате нормализованные числа записываются в память следующим образом: в 15-м бите первого машинного слова записывается знак мантиссы. С 7-го по 14-й бит первого слова – порядок. Мантисса занимает оставшиеся 23 бита в двух словах, однако в операциях участвует 24 бита мантиссы, так как старший разряд мантиссы нормализованного числа не хранится (он всегда равен единице), то есть имеет место скрытый разряд, который при аппаратном выполнении операций автоматически восстанавливается и учитывается. Порядок числа также учитывает скрытый старший разряд мантиссы.
Двоичная точность – 64-хразрядное нормализованное число с 11-ти разрядным смещенным порядком и 53-хразрядной мантиссой (52 выделенные + 1 скрытый). Расширенный формат: 80-тиразрядное число.
Примеры представления числа
Имеем число:
При этом порядок представляется двоичным кодом с избытком 128:
-310 = (-3 + 128) = 12510 = 011111012
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Последний учитываемый разряд мантиссы округляется
Порядок 610 = (6+128)=100001102
Выполнение арифметических действий над вещественными числами.
При алгебраическом сложении и вычитании чисел, представленных в формате с плавающей точкой, сначала выравниваются порядки слагаемых, при этом мантисса числа с меньшим порядком сдвигается в своем регистре вправо на кол-во разрядов, равное разности порядков операндов. После каждого сдвига порядок увеличивается на единицу. В результате одноименные разряды чисел располагаются в соответствующих разрядах обоих регистров, после чего мантиссы складываются или вычитаются. В случае необходимости полученный результат нормализуется посредством сдвига мантиссы влево на?? ////. При каждом сдвиге влево порядок уменьшается на единицу.
Для упрощения расчетов порядок представлен в обычной двоичной форме.
Сложить два нормализованных числа:
0,1011*10-1
0,11011*1010
Разность между порядками равна 3, поэтому перед сложением мантисса первого числа сдвигается вправо на 3 разряда.
0,0001011*1010 + 0,11011*1010 = 0,11101111*1010
При умножении порядки складываются, а мантиссы умножаются.
При делении из порядка делимого вычитается порядок делителя, а над мантиссами совершается обычная операция деления.