1.2 Метод наименьших квадратов
Для определения параметров модели тренда можно применять метод наименьших квадратов. Для этого необходимо линию тренда добавить в точечную диаграмму.
1.2.1 Линейный тренд
Для решения бизнес - задач чаще всего используются линейные тренды согласно рисунку 1 . Однако можно вычислять и выводить в диаграммах также нелинейные тренды нескольких типов.
Рисунок 1 - Линейный тренд
1.2.2 Логарифмический тренд
Данный тип тренда изображен на рисунке 2.
Рисунок 2 - Логарифмический тренд
Логарифмические тренды используются для описания данных, близких к логарифмической кривой, т. е. когда данные быстро увеличиваются или уменьшаются, а затем изменение прекращается (данные не могут содержать нулевых или отрицательных значений).
1.2.3 Степенной тренд
Степенные тренды используются, когда данные плавно увеличиваются с нарастающей скоростью (данные не могут содержать нулевых или отрицательных значений) в соответствии с рисунком 3.
Рисунок 3 - Степенной тренд
1.2.4 Экспоненциальный тренд
Экспоненциальные тренды используются для данных, значения которых увеличиваются или уменьшаются с быстро нарастающей скоростью (данные не могут содержать нулевых или отрицательных значений) в соответствии с рисунком 4.
Рисунок 4 - Экспоненциальный тренд
1.2.5 Полиномиальный тренд
Полиномиальные тренды используются, если данные несколько раз изменяются вверх и вниз (устанавливаемый пользователем порядок полинома – от 2 до 6 – зависит от числа направлений изменения данных), т.е. полиноминальный тренд описывает данные, плавно изменяющиеся в разных направлениях. Уравнение полиноминального тренда зависит от порядка полинома.
Полиноминальный тренд второго порядка (квадратичный тренд) описывает данные, кривая графика которых напоминает латинскую букву U (или перевернутую U). Уравнение полиноминального тренда второго порядка имеет вид у=с2х2+с1х+b, изображен на рисунке 5.
Рисунок 5 - Полиномиальный тренд 2 степени
Полиноминальные тренды высоких порядков могут описывать данные, содержащие несколько максимумов и минимумов. Уравнение полиноминального тренда третьего порядка имеет вид у=с3х3+с2х2+с1х+b, согласно рисункам 6-9.
Рисунок 6 - Полиномиальный тренд 3 степени
Рисунок 7 - Полиномиальный тренд 4 степени
Рисунок 8 - Полиномиальный тренд 5 степени
Рисунок 9 - Полиномиальный тренд 6 степени
Подобранные модели надо проверить на адекватность исходным данным.
2 Полиномиальная модель 2 степени
2.1
Для проверки модели надо найти модельные
значения, подставив в подобранную модель
y
= 0,0099x2
+ 0,232x
+ 1,0241 , R² = 0,9637 вместо
исходные значения времени t
(1,2,…,21) и найти разности (
)
между исходными, представленные в
таблице 1, и модельными значениями
уровней ряда динамики. Результаты
расчета приведены в таблице 2. Сама
полиномиальная модель 2 степени изображена
на рисунке 5.
Таблица 2 - Исходные, модельные значения уровней и остатки ряда динамики
Год |
№ квартала |
Исходные уровни, yt |
Модельные значения, уi |
Остатки, |
Ϭmed |
2005 |
1 |
1 |
1,266 |
-0,266 |
- |
2 |
2 |
1,5277 |
0,4723 |
+ |
|
3 |
2 |
1,8092 |
0,1908 |
+ |
|
4 |
2 |
2,1105 |
-0,1105 |
- |
|
2006 |
5 |
3 |
2,4316 |
0,5684 |
+ |
6 |
2 |
2,7725 |
-0,7725 |
- |
|
7 |
3 |
3,1332 |
-0,1332 |
- |
|
8 |
3 |
3,5137 |
-0,5137 |
- |
|
2007 |
9 |
4 |
3,914 |
0,086 |
+ |
10 |
4 |
4,3341 |
-0,3341 |
- |
|
11 |
5 |
4,774 |
0,226 |
+ |
|
12 |
6 |
5,2337 |
0,7663 |
+ |
|
2008 |
13 |
6 |
5,7132 |
0,2868 |
+ |
14 |
6 |
6,2125 |
-0,2125 |
- |
|
15 |
6 |
6,7316 |
-0,7316 |
- |
|
16 |
7 |
7,2705 |
-0,2705 |
- |
|
2009 |
17 |
9 |
7,8292 |
1,1708 |
+ |
18 |
9 |
8,4077 |
0,5923 |
+ |
|
19 |
8 |
9,006 |
-1,006 |
- |
|
20 |
10 |
9,6241 |
0,3759 |
+ |
|
2010 |
21 |
10 |
10,262 |
-0,262 |
- |
|
Итого |
- |
- |
0,123 |
|
2.2 Для проверки случайности колебаний уровней остаточной последовательности будем использовать критерий «серий», основанный на медиане выборки. Для этого необходимо расположить уровни остаточной после-
довательности , указанные в таблице 3, в порядке возрастания в вариационный ряд.
Находим
в этом ряду медиану:
= -0,111. Как видно из полученной
последовательности общее число «серий»
=
13; а протяженность самой длинной «серии»
Кмах=3.
Таблица 3 - Уровни остаточной последовательности в порядке возрастания
Упорядоченные остатки |
Упорядоченные остатки |
-1,006 |
0,086 |
-0,7725 |
0,1908 |
-0,7316 |
0,226 |
-0,5137 |
0,2868 |
-0,3341 |
0,3759 |
-0,2705 |
0,4723 |
-0,266 |
0,5684 |
-0,262 |
0,5923 |
-0,2125 |
0,7663 |
-0,1332 |
1 |
-0,1105 |
- |
|
|
,1708О качестве (точности) полученных моделей судят чаще всего по относительной средней ошибке аппроксимации:
(5)
Если
в пределах 8 - 10 %, то это говорит о хорошем
качестве (точности) уравнения тренда,
то есть хорошем подборе модели к исходным
данным.
=
= 11,2 %:
(6)
Выборка признается случайной, если выполняются неравенства (6) для 5 %-го уровня значимости. Подставив в неравенства (6) соответствующие значения переменных, получим:
kmax : 3 < 7,66332;
(7)
𝜈 : 13 > 6,61731.
Следовательно, ряд динамики ε отклонений от тренда состоит из случайных величин.
Проверка соответствия распределения случайной последовательности
остаточной
компоненты
нормальному закону распределения может
быть произведена лишь приближенно, так
как она является выборкой из генеральной
совокупности.
2.3 Далее необходимо рассчитать выборочные коэффициенты асимметрии АВ и эксцесса ЭВ и их среднеквадратические ошибки. Данные для расчета указаны в таблице 4.
Таблица 4 - Данные для расчетов центральных моментов
|
|
|
|
|
|
|
|
-0,272 |
0,074 |
-0,020 |
0,005 |
0,466 |
0,218 |
0,101 |
0,047 |
0,184 |
0,034 |
0,006 |
0,001 |
-0,116 |
0,014 |
-0,002 |
0,000 |
0,562 |
0,316 |
0,178 |
0,100 |
-0,778 |
0,606 |
-0,472 |
0,367 |
-0,139 |
0,019 |
-0,003 |
0,000 |
-0,520 |
0,270 |
-0,140 |
0,073 |
0,080 |
0,006 |
0,001 |
0,000 |
-0,340 |
0,116 |
-0,039 |
0,013 |
0,220 |
0,048 |
0,011 |
0,002 |
0,760 |
0,578 |
0,440 |
0,334 |
0,281 |
0,079 |
0,022 |
0,006 |
-0,218 |
0,048 |
-0,010 |
0,002 |
-0,737 |
0,543 |
-0,401 |
0,296 |
-0,276 |
0,076 |
-0,021 |
0,006 |
1,165 |
1,357 |
1,581 |
1,842 |
0,586 |
0,344 |
0,202 |
0,118 |
-1,012 |
1,024 |
-1,036 |
1,048 |
0,370 |
0,137 |
0,051 |
0,019 |
-0,268 |
0,072 |
-0,019 |
0,005 |
Итого |
5,980 |
0,429 |
4,287 |
=
0,0059;
m2 = 0,285 центральный момент второго порядка;
m3 = 0, 020 центральный момент третьего порядка;
m4 = 0,204 центральный момент четвертого порядка;
Ав = 0,1344 выборочный коэффициент асимметрии;
Эв = -0,482 выборочный коэффициент эксцесса;
ϬA = 0,4647 среднеквадратическая ошибка коэффициента асимметрии;
ϬЭ = 0,7555 среднеквадратическая ошибка коэффициента эксцесса.
Согласно формулам (8) и (9) реализуется проверка гипотезы о близости эмпирического распределения остатков ряда динамики к нормальному.
-
|Ав| = 0,1344 < 0,6967, (8)
|Эв+(6/(21+1))| = 0,2097 < 1,1332. (9)
Так как система неравенств выполняется, то гипотеза о близости эмпирического распределения остатков ряда динамики к нормальному принимается.
2.4 Проверка независимости значений остаточной случайной последовательности, т.е. отсутствия существенной автокорреляции, осуществляется с помощью критерия Дарбина – Уотсона. Данные для расчета критерия представлены в таблице 5. Критерий Дарбина – Уотсона связан с гипотезой о существовании автокорреляции первого порядка, то есть автокорреляции между соседними остаточными членами ряда.
Таблица 5 - Данные для расчета критерия Дарбина – Уотсона
|
№ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
1,266 |
-0,266 |
- |
- |
- |
0,070756 |
||||
|
2 |
1,5277 |
0,4723 |
-0,266 |
0,7383 |
0,545087 |
0,22306729 |
||||
|
3 |
1,8092 |
0,1908 |
0,4723 |
-0,2815 |
0,079242 |
0,03640464 |
||||
|
4 |
2,1105 |
-0,1105 |
0,1908 |
-0,3013 |
0,090782 |
0,01221025 |
||||
|
5 |
2,4316 |
0,5684 |
-0,1105 |
0,6789 |
0,460905 |
0,32307856 |
||||
|
6 |
2,7725 |
-0,7725 |
0,5684 |
-1,3409 |
1,798013 |
0,59675625 |
||||
|
7 |
3,1332 |
-0,1332 |
-0,7725 |
0,6393 |
0,408704 |
0,01774224 |
||||
|
8 |
3,5137 |
-0,5137 |
-0,1332 |
-0,3805 |
0,14478 |
0,26388769 |
||||
|
9 |
3,914 |
0,086 |
-0,5137 |
0,5997 |
0,35964 |
0,007396 |
||||
|
10 |
4,3341 |
-0,3341 |
0,086 |
-0,4201 |
0,176484 |
0,11162281 |
||||
|
11 |
4,774 |
0,226 |
-0,3341 |
0,5601 |
0,313712 |
0,051076 |
||||
|
12 |
5,2337 |
0,7663 |
0,226 |
0,5403 |
0,291924 |
0,58721569 |
||||
|
13 |
5,7132 |
0,2868 |
0,7663 |
-0,4795 |
0,22992 |
0,08225424 |
||||
|
14 |
6,2125 |
-0,2125 |
0,2868 |
-0,4993 |
0,2493 |
0,04515625 |
||||
|
15 |
6,7316 |
-0,7316 |
-0,2125 |
-0,5191 |
0,269465 |
0,53523856 |
||||
|
16 |
7,2705 |
-0,2705 |
-0,7316 |
0,4611 |
0,212613 |
0,07317025 |
||||
|
17 |
7,8292 |
1,1708 |
-0,2705 |
1,4413 |
2,077346 |
1,37077264 |
||||
|
18 |
8,4077 |
0,5923 |
1,1708 |
-0,5785 |
0,334662 |
0,35081929 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Продолжение таблицы 5 |
||||||||||
|
№ |
|
|
|
|
|
|
||||
19 |
9,006 |
-1,006 |
0,5923 |
-1,5983 |
2,554563 |
1,012036 |
|||||
20 |
9,6241 |
0,3759 |
-1,006 |
1,3819 |
1,909648 |
0,14130081 |
|||||
21 |
10,262 |
-0,262 |
0,3759 |
-0,6379 |
0,406916 |
0,068644 |
|||||
Итого |
|
|
|
|
12,91371 |
5,98060546 |
|||||
При
уровне значимости
по таблицам значений критерия Дарбина
- Уотсона можно определить при
и
(число факторов) критические значения
.
Получены
следующие промежутки внутри интервала
[0;4]. Ниже на рисунке 10 приведены данные
для демонстрации работы критерия Дарбина
– Уотсона.
0
2,58
4
2,78
Рисунок 10 – Данные для работы критерия Дарбина-Уотсона
Так как значение критерия попадает в зону, где автокорреляция отсутствует, то нет оснований отклонять нулевую гипотезу.
2.5
Используя полученные данные можно
выявить ошибку аппроксимации с помощью
формулы 10.
(10)
|А|=1,704180272
По результатам видно, что уровень ошибки низкий, а следовательно можно сделать вывод, что выбранный тренд является точным и отражает изменения показателей. Близость к нулю математического ожидания 0,53362574 указывает, что при заданной доверительной вероятности есть основания отвергнуть гипотезу о равенстве нулю математического ожидания случайной остаточной последовательности, распределенной по нормальному закону.
Модель полинома 2-ой степени адекватна по всем критериям исходным данным, что позволяет использовать ее для дальнейшего прогнозирования.