Дифференцируемые отображения.
Пусть отображение задано с помощью координатных функций:
,
Пусть
каждая из функций
,
определена в некоторой окрестности
точки
.
Будем называть отображение
дифференцируемым в точке
,
если каждая из функций
дифференцируема в точке
.
Тогда для каждой из координатных функций
Эти соотношения мы можем записать в матричной форме
Введем матрицу
Матрица Якоби для отображения в точке
Если каждый из представить как функцию:
Построим
Каждая
из внутренних
дифференцируема в
.
Тогда
по теореме о дифференцировании сложной
функции получаем, что
дифференцируема в точке
и для неё работает правило вычисления
производной сложной функции.
Матрица
Якоби для
матричное равенство
Рассмотрим
;
Якобиан – определитель матрицы Якоби
Если
Для
Неявные функции и отображения.
Во
многих прикладных задачах приходится
сталкиваться с такой ситуацией, когда
некоторая переменная
,
которая по смыслу является функцией
переменных
,
задаётся не явным образом
,
а с помощью некоторого уравнения
В
этом случае говорят, что переменная
,
как функция
,
задана неявно. В этом случае
- функциональное уравнение.
Рассмотрим
следующее уравнение:
.
Выразим
через
и
:
,
таким образом заданы 2 функции. Возьмём
некоторую точку в пространстве
,
которая удовлетворяет уравнению и её
окрестности: если
,
то эта точка однозначно проектируется
на круг в
,
если
,
то точка так же однозначно проектируется
на круг в
.
В этих случаях функция задана однозначно.
Если возьмём точку на экваторе сферы
и её окрестность, эта окрестность
неоднозначно проектируется.
Теорема
(о неявной функции): пусть
дифференцируема в каждой точке
некоторой окрестности точки
,
пусть кроме того частная производная
непрерывна в точке
и не обращается в 0, тогда функциональное
уравнение
в некоторой окрестности точки
(проекция
в
)
непрерывна и дифференцируема.
Замечание:
требование непрерывности частной
производной
можно заменить: производная
не обращается в 0 в некоторой окрестности
и не меняет знак в этой окрестности.
Предположим,
что выполнены условия теоремы. Укажем
алгоритм отыскания частных производных
неявной функции и формулы для них.
Возьмём частные производные
от обеих частей функционального
уравнения
.
При этом будем считать, что
,
согласно теореме, дифференцируема в
некоторой окрестности точки
.
Поэтому при вычислении частной
производной
от левой части функционального уравнения
мы должны применить правило вычисления
производной сложной функции, то есть
(все
слагаемые, кроме
,
равны 0)
Получаем
По
предположению
При вычислении производных более высоких порядков используется тот же алгоритм.
Предположим,
что задано отображение
с помощью координат функций
при этом точки пространства
Система функциональных уравнений:
уравнений с
неизвестными,
,
Теорема: пусть отображение дифференцируемо в некоторой окрестности точки в пространстве , причём все производные
непрерывны в точке и Якобеан
не
обращаются в 0 в точке
,
тогда система функциональных уравнений
однозначно определяет в некоторой
окресности точки
неявное оображение
:
дифференцируемое
в некоторой окрестности точки
Для
вычисления частных производных функций
нужно взять дифференциалы от всех
уравнений системы. Получим:
Полученные
равенств можно рассматривать как
систему линейных алгебраических
уравнений относительно независимых
дифференциалов. Коэффициенты системы
.
Якобеан отображения
система имеет единственное решение.
коэффициент в
этом выражении при
будет
равен частной производной
.