Различные формы остаточного члена в формуле Тейлора для функций одной вещественной переменной.

Пусть функция раз дифференцируема в точке на числовой прямой, то её многочлен Тейлора порядка будет выглядеть:

- форма Пеано,

Многочлен Тейлора в окрестности точки дотаточно точно приближает функцию и это приближение лучше, чем выше степень и чем ближе к ).

Теорема: пусть функция определена и непрерывна вместе со всеми своими производными до порядка включительно на интервале тогда остаточный член в формуле Тейлора может быть записан для всех из в любой из следующих трёх форм:

1. Интегральная форма

2. Форма Лагранжа где лежит между и ,

3. Форма Коши

Доказаельство:

Интегральная форма: (индуктивный переход)

- остаточный член порядка

Для вывода форм Лагранжа и Коши воспользуемся формулой о среднем значении определенного интеграла:

и интегрируемы по Риману на , не меняе знак на , , тогда

В часности, если непрерывна на :

Для вывода формы Лагранжа в теореме о среднем значении определенного инеграла в качестве возьмём (по условию она интегрируема на )

Для вывода формы Коши будем считать, что , а - вся подинтегральная функиция.

(это представление уже можно считать формой Коши)

Формула Тейлора для функции многих переменных.

Теорема (формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа): путь функция раз непрерывно дифференцируема (имеет непрерывные частные производные до порядка включительно) в некоторой окрестности точки , тогда для любой точки из этой окрестности имеет место следующая формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

Доказательство: рассмотрим вспомогательную функцию

Воспользуемся формулой Тейлора для функции одной перменной :

По формуле Маклоурена имеем:

Получаем

Следствие: если функция раз непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки , то имеет место формула Тейлора:

Где остаточный член может быть представлен в одной из следующих форм:

1. 

2. - Форма Пеано

Доказательство: (для случая двух переменных)

В этом случае офрмула Тейлора порядка

Обозначим через

Доказан первый случай.

Докажем второй случай: пусть

бесконечно малая, ограниченные

Локальный экстремум функции многих переменных.

Пусть функция определена на некотором множестве в пространстве , пусть точка , точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если

Если точка , то говорят, что это точка краевого экстремума.

Теорема (необходимое условие): пусть функция определена в некоторой окрестности точки , а точка точка её локального экстремума, если при этом функция имеет в этой точке частную производную (по какой-нибудь ), то эта производная в точке равна 0. Если же функция дифференцируема в точке , то .

Доказательство: зафиксируем все переменные, кроме

Полученная функция одной переменной в точке имеет локальный экстремум, поэтому производная этой функции в точке равна 0 по тереме Ферма о необходимом условии экстремума функции одной переменной. Но эта производная и есть частная производная :

Но по доказанному в точке локального экстремума любая частная производная равна 0, значит и дифференциал равен 0.

Лемма (о квадратичной форме на сфере): пусть положительно определенная квадратичная форма, а – сфера:

Тогда

Доказательство: функция , как многочлен второй степени непрерывна во всем вместе с функцией , поэтому функция непрерывна и на сфере . Сфера является ограниченным замкнутым множеством, поэтому по второй теореме Вейерштрасса

– не начало координат

Критерий Сильвестра:

Для того, чтобы была положительно определена необходимо и достаточно

Для того, чтобы была отрицательна определена необходимо и достаточно

Определение: если функция дифференцируема в точке, а её дифференциал в этой точке равен 0 (все частные производные равны 0), то эта точка называется стационарной точкой функции.

Ранее мы показали, что всякая точка локального экстремума дифференцируемой функции является стационарной точкой этой функции, другими словами стационарность точки необходимое условие локального экстремума. (обратное не верно)

Теорема (достаточное условие): пусть функция определена и непрерывна вместе со своими частными производными до второго порядка включительно в некоторой окрестности точки , пусть является стационарной точкой функции . Пусть

-второй дифференциал функции в точке , рассматриваемый, как квадратичная форма переменной , тогда справедливы следующие утверждения:

1. Если является положительно определенной квадратичной формой, то точка локального минимума функции

2. Если является отрицательно определенной квадратичной формой, то точка локального максимума функции

3. Если не является определенной квадратичной формой, то в точке нет локального экстремума

Доказательство: в окрестности точки разложим функцию по формуле Тейлора второго порядка

– имеет такие маленькие координаты, что лежит в окрестности точки , про которую говорится в условии теоремы.

По условию теоремы является стационарной точкой, поэтому

Заметим, что точка

лежи на единичной сфере, так как

Пусть наша квадратичная форма положительно (отрицательно) определена. По лемме о квадратичной форме на сфере:

Возьмём , при таком

Это означает, что знак суммы совпадает со знаком первого слагаемого, но он же и есть знак приращения функции

если то есть значение функции в точках проколотой окрестности больше, чем в точке , значит - точка строгого локального минимума если , - точка строгого локального максимума. Доказаны 1 и 2 утверждения теоремы.

Пусть теперь квадратичная форма не является определенной (найдется ненулевая точка, в которой она принимает положительное значение, и другая ненулевая точка, в которой она принимает отрицательное значение). Пусть

Непосредственно воспользоваться схемой доказательства двух предыдущих пунктов нельзя, так как точки и могут просто не принадлежать области определения функции , так что делать вывод о том, что приращение функции меняет знак в любой окрестности точки невозможно.

П роведем луч из точки через точку

В векторной форме уравнение луча

,

Здесь - произвольная точка этого луча.

В силу

Какую бы точку на луче мы не взяли, соответствующая ей точка лежит на единичной сфере, она не зависит от расстояния между точками и , о которой говорится в условии теоремы. Для точки , лежащей в окрестности точки и на луче имеем:

(по подбору). Отсюда следует, что

Аналогично можно показать, что для любой точки , лежащей на луче, выходящем из точки и проходящей через ’’ и в указанной окрестности точки . Это значит, что в точке нет ни минимума, ни максимума, ч.т.д.