Инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменной. Правило вычисления дифференциала.

Теорема: пусть функции определены в некоторой окрестности точки и дифференцируемы в точке . Пусть , где , пусть определена в некоторой окрестности точки и дифференцируема в точке . Тогда сложная функция переменных дифференцируема в точке , причём для дифференциала этой функции в этой точке может быть выбран любой из двух способов записи:

1)

2)

Доказаельство: наша внешняя функция

- это означает, что функция дифференцируема в точке , а в главной линейно части представления приращения коэффициенты при представляют собой производные

если учесть, что , то можно переписать и так:

где - дифференциал функции.

Замечание: инвариантность формы первого дифференциала можно понимать следующим образом: для дифференцируемой в точке её дифференциал в точке

в каждом из двух случаев

1. – независимые переменные, тогда

2. – дифференцируемые функции, такие, что и тогда

Свойства инвариантных форм первого дифференциала используемые при практическом вычислении дифференциала и частных производных.

В частности, если и дифференцируемые функции нескольких переменных, то имеет место формула:

Доказательство:

Используем свойство инвариантности форм первого дифференциала

Заметим, если есть фунция

Производная по направлению. Градиент функций.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , пусть некоторая точка этой окрестности. Проведем прямую через и . Параметрические уравнения этой прямой будут иметь вид

Где - прямая, - луч

Заметим, если разделим на

Это означает, что эти выражения можно считать косинус углов

Углы - направляющие углы вектора ,

Вектор с координатами ( - это направление вектора .

Возьмём точку на прямой, соединяющей точки и ( в векторной форме ), тогда для этой точки будем иметь

Будем считать, что точка фиксирована, а - переменная, обозначим через - направление вектора , то есть

Производная функции в точке по направлению определяется как производная сложной функции

Из частных производных функции можно составить произвольный вектор градиент

Если через обозначить направление вектора где

В этом случае

Частные производные и дифференциалы высших порядков от функций многих переменных.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки в пространстве и имеет в

Этой окрестности частную производную , которая представляет собой некоторую функцию, определенную в окрестности точки . Предположим, что эта новая функция в точке имеет частную производную по переменной , она обозначается

и называется производной второго порядка по переменным .

Если , то частная производная второго порядка называется смешанной.

Если , то

Заметим, что в общем случае порядок, в котором вычисляются смешанные производные играет существенную роль для результата, который получится.

Теорема (о равенстве смешанных производных): Пусть функция определена вместе со своими частными производными в некоторой окрестности точки , причём смешанные частные производные второго порядка непрерывны в точке , тогда

.

Доказательство: введём в рассморение вспомагательную функцию

Далее введем в рассморение

Мы получили

Применим к каждому из приращений и формулу конечных приращений Лагранжа:

Таким образом

Аналогично получаем

Получили

Переходим к пределу

В силу непрерывности и в точке при этом переходе к пределу получим:

, поэтому и стремится к 0 при и .

Замечание: по индукции утверждение этой теоремы можно распросронить и на смешанные частные производные более высоких порядков.

Определение: пусть определена в некоторой окрестности точки и дифференцируема во всех точках этой окрестности, тогда её дифференциал

является функцией от переменных: и .

При фиксированных приращениях этот дифференциал представляет собой функцию переменных определенную в октрестности точки .

Предположим, что эита функция дифференцируема в точке (как функция перемнной при фиксированных ), тогда говорят, что функция дважды дифференцируема в точке При этом дифференциал от её дифференциала , вычесленный в точке , при условии, что переменные получают те же самые фиксированные приращения , называется вторым дифференциалом в точке или дифференциалом второго порядка о обозначается .

Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков.

Пусть функция раз дифференцируема в окрестности точки , тогда её дифференциал при фиксированных приращениях является функцией переменных , определенной в окрестности точки . Предположим, что функция дифференцируема в точке тогда про функцию говорят, что она раз дифференцируема в окрестности точки , а дифференциал от её дифференциала порядка , вычисленный в точке при условии, что полученный приращения такие же, как и при вычислении всех дифференциалов до порядка (включая), называется дифференциалом порядка и обозначается .

Выведем формулу для вычисления второго порядка:

Пусть функция в точке имеет непрерывную частную производную второго порядка

Введем в рассмотрение формальные символы:

– производная функции по ,

Будем считать произведение – суперпозицией операций, для функций, имеющих частные непрерывные производные.

Далее аналогично по индукции можно доказать, что если имеет в точке непрерывные частные производные порядка , то для дифференциала порядка имеет место равенсво:

В частности

Если функция имеет в точке (области) непрерывные частные производные до порядка (включая), то говорят, что она непрерывно дифференцируема в этой точке (области).

В отличии от первого дифференциала, дифференциалы более высоких порядков не обладают свойством инвариантности форм.