2.3.2. Оценка динамики электронагрева

При нагревании какого-либо тела (вещества) стремятся сокра­тить время достижения необходимой температуры. Поэтому про­водят расчеты, считая, что процессы нагрева с режимами теплопе­редачи в конечном итоге стационарны.

Процессы нагрева, связанные с переносом теплоты и в особен­ности с изменением теплосодержания и фазового состояния мате­риалов, по своей природе динамичны и протекают во времени по определенным законам. Это относится прежде всего к установкам периодического действия, а также к переходным режимам устано­вок непрерывного действия, имеющих значительную тепловую инерцию.

Рассмотрим простейший случай нестационарного процесса — нагрев материала однородного и изотропного тела объемом V с удельной теплоемкостью С, плотностью р и массой т = Ур. Пред­ставим, что внутри материала имеется источник теплоты постоян­ной мощности Р, а вся наружная поверхность тела площадью Р имеет контакт с окружающей средой и отдает ей теплоту.

Обозначим превышение температуры материала Т_м над темпе­ратурой окружающей среды Г_окр через 6 = Т_м - Т_окр = А Г. Примем, что температура Т_м в любой момент времени одинакова во всех точках объема тела; удельная теплоемкость материала С и, следо­вательно, его полная теплоемкость С_т= УрС, а также коэффици­ент теплоотдачи к\ не зависят от превышения температуры Э.

За время ах часть энергии Рдх, подводимой к материалу, расхо­дуется на нагрев (С^б), а часть к^РОск теряется в окружающей сре­де, то есть

(2.14)

Преобразуем выражение (2.14), разделив его члены на С_тах и перенеся левую часть в правую,

(2.15)

Получим уравнение процесса электронагрева, представляющее собой дифференциальное уравнение первого порядка.

Время нагрева х — один из параметров, определяющих режим

нагрева материала. Поэтому решим уравнение (2.15) относительно

--с, приняв, что температуры материала Т_и и окружающей среды

Г_окр в начальный момент одинаковы и Э₀(Д7) = 0. Получим

(2.16)

Проинтегрировав выражение (2.16) и определив постоянную

143

интегрирования из принятых условий задачи, окончательно полу­чим

(2.17)

Полагая С_т = тС, определим по выражению (2.17), что время нагрева определяется массой вещества т, его теплоемкостью С, мощностью нагрева Р, а также теплоотдающей способностью к^Р. Величину, равную отношению С,- материала к его теплоотдаче Р. называют постоянной времени нагрева, то есть Т = С?/к С/кР.

■А С учетом последнего имеем

Р-к.РВ'

(2.18)

Постоянная времени нагрева Т— важный параметр теплового объекта и, как видно из его выражения, не зависит от мощности, подводимой к телу, а только от условия его теплообмена с окружа­ющей средой.

Из выражения (2.18) может быть определено превышение температуры нагрева

На рисунке 2.1, а показано графическое изображение вы­ражения (2.19), из которого видно, что при х — °° превыше­ние температуры принимает установившееся значение

поэтому

Из приведенного выраже- _ ния следует, что при х = Т от-

^у°™ ^ ношение 0/0_уст = О,63. На ос-

новании этого постоянную

Рис. 2.1. Временные хараютристики времени Т можно определить процессов нагрева и охлаждения: как время, необходимое ДЛЯ

а - превышение температуры; 6- скорости *°™^ЖеП™ Значения, равНОГО нагрева и охлаждения \1,Ы й_уст. С ТОЧНОСТЬЮ ДО 1 %

144

1

считают, что температура достигает установившегося значения че­рез время, равное 5 Г.

При отключении электротермической установки от сети нагре­ваемый материал будет охлаждаться. Так как энергия, подводимая к установке, в этом случае равна нулю, то левая часть уравнения (2.14) также равна нулю, следовательно

(2.21)

Если охлаждение при х = 0 начинается с установившегося зна­чения превышения температуры 8_уст, то аналогичным образом из уравнения (2.21) получаем

~^^т. (2.22)

При х= Г имеем 0/9_уст = О,37, и охлаждение практически за­кончится через время, равное 57".

Из экспоненциального характера изменения превышения тем­пературы при нагреве и охлаждении следует, что их скорости из­меняются во времени.

Чтобы определить скорость нагрева у_нагр, дифференцируют уравнение нагрева (2.20) по времени:

их

(2.23)

Скорость охлаждения у_охл находят, дифференцируя уравнение (2.22):

^г. (2.24)

Из анализа последних выражений видно, что скорость нагрева и охлаждения экспоненциально убывают до нуля через время х = °°, а практически через время, равное 5Г. На рисунке 2.1, ^по­казаны зависимости скоростей нагрева и охлаждения от времени. Максимальная скорость нагрева у^т^_гр имеет место в начальный момент, когда отсутствует температурный перепад между нагрева­емым материалом и окружающей средой. При охлаждении ско­рость снижения температуры имеет максимальное значение у"¹^ также в начальный момент времени.

Динамика превышения температуры и скорости нагрева влияет на энергетические показатели процесса, в первую очередь на теп­ловой КПД. В случае нагрева он определяется отношением полез­но израсходованной энергии к затраченной:

145

(2.25)

10-6572

следовательно,

(2.26)

Выражение (2.26) представляет собой уравнение прямой, по­этому г|_т принимает значение 1 при 0 = 0, то есть в начале нагрева, и 0 при 0 = 0_уст.

Если в уравнение (2.26) подставить выражение (2.20), то полу­чим зависимость г|_т от времени

(2.27)

Из формулы (2.27) следует, что тепловой КПД в функции вре­мени убывает экспоненциально от единицы в начале нагрева до нуля при достижении 0_уст, когда вся подводимая мощность пере­дается в окружающую среду.

Следует сказать, что данный анализ динамики нагрева основан на допущениях, которые могут не всегда соответствовать реально­му протеканию процессов нагрева и охлаждения.