1.5 Числовые характеристики выборки

Рассмотрим некоторые числовые характеристики выборки.

Мода. Для дискретного вариационного ряда легко находится x_m, в котором m имеет наибольшее значение, – это значение, эмпирическая вероятность которого максимальна, назы-вается модой. Для интервального ряда легко находится интервал, у которого частота максимальна. Мода находится внутри него. Для вычисления ее значения пользуются формулой линейной интерполяции. На наших гистограммах показано, как она ищется графически. На гистограмме из примера 1.8 выработки продавцов мода, равна 130.

Медиана. На графике кумуляты, или сглаженной эмпирической функции распределения, показана эмпирическая медиана. Медиана – важная характеристика распределения вероятностей – это середина распределения, т.е. такая точка, что половина принимаемых значений лежит слева от нее, а половина справа. Для дискретного вариационного ряда медиана d ищется по формуле:

Для группированной выборки медиана – это точка, в которой площадь гистограммы делится пополам (в примере 1.8 – это такая выработка, когда у 25 продавцов выработка меньше этого числа, а у 25 – больше. Из соображений симметрии видно, что таким значением является число 130). Если медиана лежит практически в центре области принимаемых значений, то это указывает на то, что у выборки нет сильного перекоса вправо или влево, она примерно симметрична относительно медианы. Сдвиг медианы влево (вправо) от центра области принимаемых значений означает больший “вероятностный” удельный вес левой или, соответственно, правой половины принимаемых значений (рисунок 1.4).

Рисунок 1.4

Существуют и другие числовые характеристики выборки. Для их вычисления интервальную таблицу выборки заменяют на дискретную (таблица 1.8). В качестве принимаемых значений указывают середины интервалов группировки.

В дальнейшем будем считать, что и по дискретной и по интервальной выборке задана таблица частот (таблица 1.4) или таблица относительных частот – т.е. таблица эмпирического распреде-ления выборки (таблица 1.3).

В таблице 1.9 приведены формулы, по которым в зависимости от описания данных выборки вычисляются среднее значение и разброс выборки.

Таблица 1.8. Таблица распределения продавцов по выработке (дискретный вариант)

xi	mi	mi / n	Плотность вероятности	Накопленная частота (эмпирическая функция распределения)
90	5	0,1	0,005	0,1
110	10	0,2	0,01	0,3 = (0,1 + 0,2)
130	20	0,4	0,02	0,7 = (0,3 + 0,4)
150	10	0,2	0,01	0,9 = (0,7 + 0,2)
170	5	0,1	0,005	1 = (0,9 + 0,1)
n	50

Таблица 1.9

	Вариационный ряд задан последовательностью	Задана таблица частот вариационного ряда	Задана таблица относительных частот вариационного ряда
Среднее значение выборки
Дисперсия (разброс) выборки

Пример 1.9. По выборке 4, 6, 7, 7, 10, 15, 18 (n = 7) найти и S².

• = (4 + 6 + 7 + 7 + 10 + 15 + 18)/7 = 9,57.

S² = 1/7(16 + 36 + 49 + 49 + 100 + 225 + 324) – (9,57)² = 114,14 – 1,58 = 22,56

Пример 1.10. Найти и S² по таблице выборки:

Варианты xi	2	6	12
Частоты mi	3	10	7	n = 20

• = (23 + 610 + 127)/20 = 7,5

S² = 1/20(43 + 3610 + 1447) – (7,5)² = (1/20) 1380 – 56,25 = 69 – 56,25 = 12,75

Пример 1.11. Найти и S² по таблице выборки:

Варианты xi	2	6	12
Частоты mi/n	0,15	0,5	0,35	1

• = 20,15 + 60,5 + 120,35 = 7,5

S² = (40,15 + 360,5 + 1440,35) – (7,5)² = 69 – 56,25 = 12,7

(легко видеть, что примеры 1.2 и 1.3 задают одну и ту же выборку, но в примере 1.2 она задана таблицей частот, а в примере 1.3 – таблицей относительных частот:

0,15 = 3/20; 0,5 = 10/20; 0,35 = 7/20)