2.5 Понятие надежности оценки

Метод моментов дает нам точечные (числовые) оценки для вероятности р в схеме испытания с двумя исходами (значение m/n), для параметра  пуассоновского распределения, для среднего а (выборочное среднее ), для дисперсии ² (выборочная дисперсия S²).

Обсудим вопрос об их точности и надежности.

Статистическая оценка _n является лишь приближенным значением неизвестного параметра  даже в том случае, если она несмещенная (в среднем совпадает с ), состоятельная (стремится к  с ростом n) и эффективная (обладает наименьшей степенью случайных отклонений от ).

В силу случайной природы изучаемых характеристик их сходимость к предельным значениям – сходимость по вероятности. Это означает, что точность оценок, вычисленных по выборке, не “всегда” имеет место, а только для подавляющего числа выборок. Таким образом, кроме обычного понятия точности оценок встает вопрос еще и об их надежности – в каком проценте случаев точность оценки не нарушается?

В силу этого с точностью оценки, полученной на основе выборки, математическая статистика связывает понятие “уровня доверия” к ней. “Уровень доверия”– это и есть ее надежность, процент (доля) случаев, для которых гарантируется требуемая точность оценки. То есть точности оценки можно доверять не на все 100 %, а лишь с некоторым “уровнем доверия”. Например, если указано, что уровень доверия для оценки 0,95, то из 100 выборок примерно 5 дадут оценки, которые на самом деле не удовлетворяют требованиям точности. Является конкретная выборка “плохой” или “хорошей”, к сожалению, сказать нельзя, так что если делать на основе выборочного метода вывод о всей совокупности, то остается вероятность ошибиться. Математическая статистика дает методику вычисления этой вероятности.

Описание точности и надежности оценки _n параметра  дает распределение вероятностей разности оценки и истинного значения – (_n– ). Оно задает среднее значение ошибки и позво-ляет оценить вероятность слишком большого отклонения оценки от истинного значения. Покажем на примере выборочного среднего , какие выводы его распределение вероятностей позволяет сделать о точности и надежности точечной оценки для генерального среднего а.

2.6 Распределение выборочного среднего

Оценка генерального среднего – выборочное среднее – является случайной величиной, значение которой зависит от того, какие значения приняли варианты x_i. Если наблюдения проводятся над нормальной случайной величиной с параметрами а и , то как сумма нормально распределенных случайных величин она подчиняется нормальному закону. Найдем ее математическое ожидание и дисперсию. Воспользуемся для этого приведенными в таблица 2.3 свойствами математического ожидания и дисперсии:

Следовательно, у величины то же математическое ожидание а, что и у генерального распределения, а дисперсия в n раз меньше:

.

Эти соотношения выведены без учета требования нормальности генерального распределения. В силу центральной предельной теоремы, если число наблюдений n велико, то каким бы ни было распределение у случайной величины, из которой делается выборка, если у него существует дис-персия, выборочное среднее , являясь суммой большого числа случайных величин, подчиняется закону, близкому к нормальному, так что формула

верна в достаточно широком классе случаев. Попутно мы получили доказательство того, что выборочное среднее является несмещенной и, в силу теоремы Чебышева, состоятельной оценкой.

Замечание. Оценка S² смещена. Исправить эмпирическую дисперсию S², чтобы получить несмещенную точечную оценку s² для неизвестной дисперсии надо следующим образом:

,

где s² – несмещенная оценка для дисперсии.